【ベクトルと平面図形】

質問

AB=9、BC=８、CA=7である△ABCの内接円の
辺BC,CA,ABでの接点をそれぞれD,E,Fとし、内接円の中心をIとする。

(1)四角形AFIE、BDIF、CEIDの面積比は？

(2)△ABCの面積は？

(3)内接円の半径は？

(4)AI→をAB→、AC→で表せ。

問題数が多いのですが…
解ける方いらっしゃいませんか？

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞AB=9、BC=８、CA=7である△ABCの内接円の
＞辺BC,CA,ABでの接点をそれぞれD,E,Fとし、内接円の中心をIとする。
内接円の半径をｒとすると、ＩＤ＝ＩＥ＝ＩＦ＝ｒ

＞(1)四角形AFIE、BDIF、CEIDの面積比は？
内接円の性質から、ＡＦ＝ＡＥ＝ｘとおくと、ＢＦ＝ＢＤ＝９－ｘ，ＣＤ＝ＣＥ＝７－ｘ
ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝（９－ｘ）＋（７－ｘ）＝８より、ｘ＝４
四角形ＡＦＩＥは底辺ｘ、高さｒの直角三角形２個分だから、
面積＝(1/2)×ｘ×ｒ×２＝ｒｘ＝４ｒ
同様にして、
四角形ＢＤＩＦ＝ｒ（９－ｘ）＝５ｒ
四角形ＣＥＩＤ＝ｒ（７－ｘ）＝３ｒ
よって、四角形AFIE、BDIF、CEIDの面積比＝４ｒ：５ｒ：３ｒ＝４：５：３

＞(2)△ABCの面積は？
余弦定理より、
cosＡ＝（９^2＋７^2－８^2）／２×９×７＝１１／２１
sin^2Ａ＝１－（１１^2）／２１^2）＝８^2２×５／２１^2より、sinＡ＝８√５／２１
三角形の面積公式より
△ＡＢＣ＝(1/2)×９×７×sinＡ＝(1/2)×９×７×（８√５／２１）＝１２√５

＞(3)内接円の半径は？
△ＡＢＣの面積は、（１）の面積の合計だから、
４ｒ＋５ｒ＋３ｒ＝１２√５
１２ｒ＝１２√５　よって、ｒ＝√５

＞(4)AI→をAB→、AC→で表せ。
ＡＩの延長とＢＣの交点をＧ，ＢＩの延長とＡＣの交点をＨとする。
ＡＩは∠Ａの二等分線、ＢＩは∠Ｂの二等分線であるから、その性質より、
ＢＤ：ＤＣ＝９：７，ＣＨ：ＨＡ＝８：９だから、
ＡＧ＝(7/16)ＡＢ＋(9/16)ＡＣ
ＢＨ＝(9/17)ＢＣ＋(8/17)ＢＡ
　　＝(9/17)（ＡＣ－ＡＢ）－(8/17)ＡＢ
　　＝－ＡＢ＋(9/17)ＡＣ
Ａ，Ｉ，Ｇは一直線上にあるから、
ＡＩ＝ｍＡＧとおける。
ＡＩ＝(7/16)ｍＡＢ＋(9/16)ｍＡＣ　……（１）
Ｂ，Ｉ，Ｈは一直線上にあるから、
ＢＩ＝ｎＢＨとおける。
ＡＩ－ＡＢ＝－ｎＡＢ＋(9/17)ｎＡＣ
ＡＩ＝（１－ｎ）ＡＢ＋(9/17)ｎＡＣ　……（２）
（１）（２）より、係数を比較すると、
(7/16)ｍ＝１－ｎ，(9/16)ｍ＝(9/17)ｎ
連立でこれを解くと、
ｍ＝２／３，ｎ＝１７／２４
よって、
ＡＩ＝（７／２４）ＡＢ＋（３／８）ＡＣ

でどうでしょうか？図を描いて考えてみて下さい。

回答No.3

yyssaa

失礼、#2です。(4)を以下の通り訂正します。
(4)AI→をAB→、AC→で表せ。
AIは∠Aを二等分しており、AF=AEなので、AI→の向きは
AF→+AE→と一致する。AF:FBは(1)の計算過程より
AF:FB=a:b=4:5であり、AF+FB=AB=9よりAF=4となるので、
AF→+AE→=(4/9)AB→+(4/7)AC→。
AI→の大きさは△AFIで三平方の定理より√(16+5)=√21。
点FからAIに下ろした垂線の足をHとすると、
AH/AF=AF/AI　→　AH=AF^2/AI=16/√21。
AF→+AE→の大きさはAFとAEを2辺とする菱形の対角線の
長さであり、2AH=32/√21となる。
以上より、AI→={(4/9)AB→+(4/7)AC→}(√21)/{32/√21}
=(7/24)AB→+(3/8)AC→・・・答え

回答No.2

yyssaa

(1)四角形AFIE、BDIF、CEIDの面積比は？
四角形AFIEの面積を2a、四角形BDIFの面積を2b、
四角形CEIDの面積を2c　とすると、
(a+b):(b+c):(a+c)は△ABIの面積:△BCIの面積:△CAIの面積
であり、それぞれの三角形の高さ=内接円の半径なので、面積
の比は辺の長さの比になる。よって、
(a+b)/(b+c)=9/8 　→　8a+8b=9b+9c 　→　8a=b+9c
(a+c)/(b+c)=7/8 　→　8a+8c=7b+7c 　→　8a=7b-c
両式より10c=6b c=3b/5、代入して
8a=7b-c=7b-3b/5=32b/5 a=4b/5
よって、a:b:c=4b/5:b:3b/5=4:5:3
四角形AFIE、BDIF、CEIDの面積比=2a:2b:2c=a:b:c
=4:5:3・・・答え
(2)△ABCの面積は？
AからBCに下ろした垂線の足をGとすると、三平方の定理より
AG^2=81-BG^2
AG^2=49-(8-BG)^2=49-(64-16BG+BG^2)=-15+16BG-BG^2
両辺の差をとって
0=96-16BG　→　BG=6　→　AG=√(81-36)=√45
よって△ABCの面積=(8*√45)/2=12√5・・・答え
(3)内接円の半径は？
△ABC=△ABI+△BCI+△CAIなので、面積の2倍を計算すると、
内接円の半径=rとして
24√5=r*(7+8+9)　→　r=√5・・・答え
(4)AI→をAB→、AC→で表せ。
AIは∠Aを二等分しており、AF=AEなので、AIの大きさは
AFとAEを2辺とする菱形の対角線の長さの1/2になる。
AF:FBは(1)の計算過程よりAF:FB=a:b=4:5であり、AF=4
となる。以上より、AI→=(1/2){(4/9)AB→+(4/7)AC→}
=(2/9)AB→+(2/7)AC→・・・答え