数学 三角比

質問

三角形ABCにおいて、頂点Aから直線BCに垂直におろした垂線の長さは1、頂点Bから直線CAに下した垂線の長さは√2、頂点Cから直線ABに下した垂線の長さは2である。このとき、三角形ABCの面積と、内接円の半径、および外接円の半径を求めよ。

回答No.1

k14i12d · ベストアンサー

三角形の面積をSとすると
S=(1/2)BC=(√2/2)CA=AB ←＊)がわかります。
よって、AB=S、BC=2S、CA=(√2)Sと表されることがわかります。
ここで、余弦定理を使いますと、cosB=3/4がわかります。
また、三角比の定義よりABsinB=1は自明。
sinB=√1-cos^2B=√7/4から
AB=4√7/7=Sを得ます。
＊)よりCA=4√14/7、BC=8√7/7がわかります。
ところで、三角形の内接円の半径をrとしてS=(1/2)r(AB+BC+CA)と表されるので *、
r=2(3-√2)/7を得ます。
また外接円の半径をRとすると、CA/sinB=2Rと表されるので、
R=8√2/7が得られます。
*について、じっくり考えればわかると思いますので、自分で証明するなりなんなりしてみて下さい。
正弦定理、余弦定理も証明を1度はしましょう。

お礼

丁寧に解説してくださり、ありがとうございます！
確かに、定理や公式を丸暗記しても真の力はつかないと思いました。
アドバイス通り、余弦・正弦定理の証明にもチャレンジしてみたいと思います。
改めまして、ありがとうございました。