数学Iの問題なんですが。

質問

Ｘ+１/Ｘ＝aとおくとき、x＾５+１/x＾５をaを用いて表せ。
という問題なのですが、解いたところどうしてもa＾５+５a＾３+１０aという答えにしかならず、解答のa＾５－５a＾３+５aになりません。
できれば、解き方を詳しく載せて頂ければとても助かります。
よろしくお願いします。

回答No.3

fukuda-h · ベストアンサー

N02さんの解答２が数Iではぴったりの解答ですね
普通は誘導が付いて
　(1)x＾2+１/x＾2をaを用いて表せ(2)x＾3+１/x＾3をaを用いて表せ
(3)x＾５+１/x＾５をaを用いて表せ・・・・となるでしょうね。
計算問題の代表的な問題でよく入試で使われる素材ですね。
(x+1/x)^2=x^2+(1/x)^2+2だからx^2+(1/x)^2＝a^2-2
(x+1/x)^3=x^3+3x+3(1/x)+(1/x)^3だからx^3+(1/x)^3＝a^3-3a
{x^2+(1/x)^2}*{x^3+(1/x)^3}=x^5+(1/x)^5+x+(1/x)だから
{a^2-2}*{a^3-3a}=x^5+(1/x)^5+aが成り立つ
ゆえにx^5+(1/x)^5+a=a＾５－５a＾３+５aです。計算間違いしてませんか？？？？

回答No.4

masssyu

パスカルの三角形を使ってもいいですが、長くなるので簡単な方の解法を書いておきます。

解）(X+1/X)^5 を展開してもいいですが、間違えやすいですし、問題が続いたら面倒なので、
　　こういう時はまず　[X^2+1/X^2]　や[x^3+1/X^3] の値を求めておきましょう。
　　そうすればどんな場合も求めやすくなります。

　 X^2+1/X^2=(X+1/X)^2-2=a^2-2

(X+1/X)^3=X^3+3X+3/X+1/X^3 より
　 X^3+1/X^3=a^3-3X-3/X=a^3-3(x+1/X)=a^3-3a=a(a^2-3)

(X^2+1/x^2)×(X^3+1/x^3)=X^5+X+1/X+1/X^5　より
　　X^5+1/X^5=(X^2+1/x^2)×(X^3+1/x^3)-(X+1/X)

以上より　　
　 (X+1/X)^5=(X^2+1/x^2)×(X^3+1/x^3)-(X+1/X)
　　　　　　　=a×(a^2-2)×(a^2-3)-a
　　　　　　　=a(a^4-5a^2+6)-a
　　　　　　　=a^5-5a^3+5a

となります。

回答No.2

mister_moonlight

考えられる方法は、ざっと考えても4つほどある。
全部は要らないだろから、そのうち2つを書いておく。

簡単のために、1/x＝yとすると、xy＝1、a＝x＋y　の時、x＾5＋y＾5　を　aで求めよ、という問題になる。

(解法-1)
パスカルの三角形を使う。パスカルの三角形とは、検索するとたくさん出てくる。便利だから憶えておいたらよい。

(x＋y)＾5＝x＾5＋5x＾4y＋10x＾3y＾2＋10x＾2y＾3＋5xy＾4＋y＾5であるから、x＾5＋y＾5＝(x＋y)＾5-5x＾4y-10x＾3y＾2-10x＾2y＾3-5xy＾4＝(x＋y)＾5-5(xy)*(x＾3＋y＾3)-10(xy)＾2*(x＋y)となる。
x＾3＋y＾3＝(x+y)*(x＾2-xy＋y＾2)を計算する。以下は、自分でやって。

(解法-2)
(x＾2＋y＾2)*(x＾3＋y＾3)＝(x＾5＋y＾5)＋(xy)＾2*(x+y)。
x＾5＋y＾5＝(x＾2＋y＾2)*(x＾3＋y＾3)-(xy)＾2*(x+y)。以下の計算は自分でね。

(注)
他の解法は
(1)　割り算で、次数を下げて計算する。
(2)　数列を使って、周期関数の性質を利用する。

回答No.1

under12

何故そうなったのか、途中の式を記載しましょう。
話はそれからです。