数Iの問題です。

質問

2次関数f(x)=x^2-2x+3,g(x)=-2x^2-2ax+3。ただしaはa≠1の定数。
(1)方程式f(x)=g(x)を解け（私の解答：ｘ＝0、－（2a+2)/3)
(2)a＜1として不等式f(x)≧g(x)を満たすｘの範囲は？（私の解答：ｘ≦0、－（2a+2)/3≦ｘ）
またその範囲におけるｆ（ｘ）の最小値が2となるようなaの値の範囲は？(3)a＞0とする。不等式f(ｘ)≦g(ｘ)を満たすxの値の範囲におけるg（ｘ）の最大値をM（a)とおく。M（a)を求めよ。

という問題です。
どなたか数学が得意な方問題と解説と答えが間違っていましたら訂正をお願いいたします。

回答No.2

owata-www

（１）間違い、因数分解を間違えています
x^2-2x+3=-2x^2-2ax+3
→3x^2-2*(1-a)x=0
→3x{x-2*(1-a)/3}
→x=0 or 2*(1-a)/3

（２）
x^2-2x+3≧-2x^2-2ax+3
→3x{x-2*(1-a)/3}≧0
→a＜1より、x≦0or2*(1-a)/3≦x

f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2
つまり、f(x)の最小値が2→最小値をとるのはx=1→x≦0or2*(1-a)/3≦xの範囲にx=1が含まれる
→2*(1-a)/3≦1
→-1/2≦x＜1

（３）
x^2-2x+3≦-2x^2-2ax+3
→3x{x-2*(1-a)/3}≦0

(i)0＜a＜1の時
3x{x-2*(1-a)/3}≦0
→0≦x≦2*(1-a)/3

g(x)=-2x^2-2ax+3＝-2*(x+a/2)^2 +a^2/2 +3なので、g(x)の0≦x≦2*(1-a)/3の範囲の時の最小値はx=0の時で、M（a)=3

(ii)-a/2≦2*(1-a)/3＜0つまり1＜a≦4　の時、
3x{x-2*(1-a)/3}≦0
→2*(1-a)/3≦x≦0

よって、2*(1-a)/3≦x≦0の範囲の時のg(x)の最小値はx=2*(1-a)/3の時で、M（a)=(1/9)*(4a^2+4a+19)

（iii）2*(1-a)/3≦-a/2つまり4≦aの時
2*(1-a)/3≦x≦0の範囲の時のg(x)の最小値はx=-a/2の時で、M（a)=a^2/2 +3

以上です。

回答No.1

mister_moonlight

＞答えが間違っていましたら訂正をお願いいたします。

(1)の方程式を解くところから間違い。最初から、やり直し。

(3)は
0＜a＜1の時、M（a)＝3.
1＜a≦4の時、M（a)＝（1/9）*（4a＾2+4a+19）
a≧4の時、M（a)＝3＋（a＾2）/2.