数学の不等式の問題

質問

数学の不等式の問題

0<x<1 ・・・1
｜x-a｜<2 ・・・2
とする。
1 を満たすどのようなxについても 2 が満たされるとき、実数aの範囲を求めよ。

という問題です。
模範解答では、まず最初に
｜x-a｜<2 より、-2<x-a<2 すなわち、a-2<x<a+2
としていました。この意味は分かりました。
しかし、模範解答を見る前に自力でやったやり方は、まず場合分けでした。

｜x-a｜<2 より、x≧aのとき、x-a<2 すなわち ｘ＜2+a
x<aのとき、-x+a<2 すなわち x>a-2
としてから解いたので、答えは
x≧aのとき、a≧-1
x<aのとき、a≦2
と二通りでました。
ここで「かつ」ではないので
まとめてはいけないと考えました。

しかし、模範解答のやり方でいくと
｜x-a｜<2 より、-2<x-a<2 すなわち、a-2<x<a+2 としているので、場合分けをしておらず
答えも-1≦a≦2 と一通りでした。
つまり、1 を満たす条件として、a-2≦0 かつ a+2≧1
となっているのです。
私の自力のやり方では「かつ」とはなっていません。

何が違うのでしょうか?
詳しい解説をお願いします。

回答No.4

noname#154783 · ベストアンサー

この問題の本質は
「『1を満たすどのようなxについても2が満たされる』ってことは，例えば添付図のような感じで，『1を満たすxの範囲』が『2を満たすxの範囲』の中に完全に収まっている」ようなaの範囲を求める」ということです．

そのために2の絶対値付き不等式の解を，aを含んだ形で求めなきゃならないんですが，模範解答は場合分けせずに絶対値記号を処理してしまっているのに対し，質問主の方は場合分けで絶対値記号を処理しようとしているわけです．

そこで，質問主の方のように，2の絶対値付き不等式を場合分けで処理しましょう．

実数xは「i) x ≧ a」または「ii) x ＜ a」です．これ以外の場合はありません．

i) x ≧ aの場合．
2より
x - a < 2 すなわち x < a + 2
であり，x ≧ aの場合を考えているのであるから，
x ≧ a かつ x < a + 2
∴a ≦ x < a + 2.

ii) x < aの場合．
2より
-x + a < 2 すなわち x > a - 2
であり，x < aの場合を考えているのであるから，
x < a かつ x > a - 2
∴a - 2 < x < a.

i)またはii)より，不等式2の解は
a - 2 < x < a + 2.

というようにして，結局，模範解答と同じように不等式2の解はa - 2 < x < a + 2となってしまい，あとは上に述べた「この問題の本質」に戻って考えるわけですから，この問題の場合，「場合分けする・しない」は2の絶対値付き不等式を解いている間だけの問題であり，2を解いてしまった後の話には影響しません．

あとは，2の解 a - 2 < x < a + 2 の中に，1の領域 0 < x < 1 がすっぽり収まるようなaの範囲を求めればいいので，

a - 2 ≦ 0 かつ 1 ≦ a + 2
∴-1 ≦ a ≦ 2.

お礼

皆様回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.3

puusannya

x≧aのとき、（０＜ｘ＜１ですから）
　ａ＜１がまず必要ですね。
だから　ｘ≧ａ　のとき　－１≦ａ＜１

ｘ＜ａのとき（０＜ｘ＜１　ですから）
ａ＞０　が必要ですね。
だから　ｘ＜ａ　のとき　０＜ａ≦２

そして最終的には、ａがこれらの範囲のどこかにあれば
ａより大きいか、小さいかにかかわらず
条件に合うｘが求まるということですね。

だから答えは、２つの答えを合わせたもの　－１≦ａ≦２　になります。

と考えましたがいかがでしょうか。

回答No.2

uxda

とりあえず質問に答えましょう。

模範解答の変形を数直線上で考えます。

|x-a|<2
とは、
「x-aの絶対値が2未満」
を意味します。

ならば
x-aは-2より大きく、かつ
2より小さくなければなりません。

分かりますかね？

模範解答の変形はnaturalですが、
あなたの言う場合分けは不完全です。

「すべて」を無視していませんか？

この問題ができない原因は
かなり深いところにあるはずです。

数学の土台である論理性が
欠如しているのでしょう。
(そこを意識すると、
先ほどの回答に行き着きます)

しかし、これは珍しい状態でなく
高校入試までの数学から
脱皮できていないのです。

今後は
「高校への数学」と「高校での数学」の
あまりに大きな差、「論理性」について
強く意識しながら数学しましょう。

意味が分からないなら、
gooより先生に聞くべきです!

回答No.1

uxda

まさにこの問題に見覚えがあります。

ここで求めるaの値域は、
次のように言い換えられます。

0<x<1⇒|x-a|<2
を満たすaの値
(左の集合が右の集合に含まれる!)

つまり

|x-a|<2⇒「0<x<1を満たすxが存在する」
を満たすaの値

さらに

y=|x-a|とy<2が0<x<1に共有点(x,y)を持つようなaの値

これをグラフ上で考えた後に
自分の間違いについて
考え直してみてください。

これは難関大受験では頻出で、
数学を理解する上でも大変重要な問題です。

ぜひきちんと理解してください!
(要するに自分で考えましょう)

補足

すみません。全然意味が分からないです。
y=|x-a|とy<2が0<x<1に共有点(x,y)を持つようなaの値
の時点で意味が分かりません。
y<2 のグラフってどんなのかすら分かりません。
しかもここで共有点という言葉がでてくることの意味が分かりません。

つまり、分からないです。