数学の問題についての質問です

質問

レポートの課題が出ているのですが、この問題がわかりません。
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・lim[x→0] {(1+x)^(-1/2)-(1-ax)}/x^2が収束するようにaの値を定め、極限を求めよ。

答えのみでなく、解答の過程もよろしくお願いします<(_ _)>

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

入学試験等では、出題範囲外の知識を答案に使うと減点対象にされかねませんが、
レポート課題であれば、未習範囲を調べて使うと評価は上がるはずですよ…？

素朴に、収束の定義に沿って計算するならば、こうやります。

lim[x→0] { (1+x)^(-1/2) - (1-ax) }/x^2 が収束するとき、
lim[x→0] { (1+x)^(-1/2) - (1-ax) }/x
= { lim[x→0] { (1+x)^(-1/2) - (1-ax) }/x^2 }{ lim[x→0] x }
= 定数・0
= 0.

左辺 = lim[x→0] { (1+x)^(-1/2) - 1 }/x + a であるから、
-a = lim[x→0] { (1+x)^(-1/2) - 1 }/x.

微分係数の定義により、-a = (d/dx) (1+x)^(-1/2) [x=1] となる。
(No.3 の a は符号のミスあり。Sorry.)

お礼

そうだったのですか！
回答ありがとうございますm(._.)m

回答No.5

alice_44

あれ？

-a = (d/dx) (1+x)^(-1/2) [x=0]
もしくは
-a = (d/dt) t^(-1/2) [t=1].

重ね重ね sorry.

回答No.3

alice_44

1/√(1+x) のマクローリン展開を与式へ代入してみれば、
a = (d/dx) 1/√(1+x) [x=0] であることが解ります。
与式の極限は、(1/2) (d/dx)(d/dx) 1/√(1+x) [x=0] です。

きちんと証明するためには、lim の順序交換が必要ですが、
それは、巾級数の一様収束性から従います。

補足

回答ありがとうございますm(._.)m

さきほどの回答にも補足したのと同様ですが、マクローリン展開もこの練習問題の次以降の章に出てくるので、もし可能であればマクローリン展開を使用しないで解く方法があればよろしくお願いしますm(._.)m

回答No.2

info22_

いわゆる0/0型なので　0/0型で無いように工夫すればいいでしょう。

ロピタルの定理を使ってもいいなら
分子・分母を微分すればいいでしょう。
lim[x→0] {(1+x)^(-1/2)-(1-ax)}/x^2
=lim[x→0] {(-1/2)(1+x)^(-3/2)+a)}/(2x)
収束するには分母→0なので、分子→0にして0/0型になるようにしてやります。
つまり、x→0のとき　分子→{(-1/2)(1+0)^(-3/2)+a)}=(-1/2)+a=0 ∴a=1/2
と定めてやります。このとき更にロピタルの定理を適用すれば収束値が求まります。

レポート課題なので後の計算は自分でやってみて下さい。

補足

回答ありがとうございますm(._.)m

この問題は教科書の章の終わりごとにある練習問題からなのですが、ロピタルの定理が出てくるのは、この練習問題の次の章からなのです……＾＾；

もしよろしければロピタルの定理を使用しないで解ける方法がありましたらよろしくおねがいしますm(._.)m

回答No.1

Tacosan

どこが (あるいは何が) わからないのでしょうか?