効用関数の解き方

質問

解答があるのですが、途中の過程が省略されていて、解き方がわかりません。

効用関数　u = z^(1/2)・h^(1/2)　のとき
h = H/P　z = 1-(Q-P)^2　となるので、効用は
U(P) = (H/P)^(1/2)・{1-(Q-P)^2}^(1/2)　となる。これをPに関して最大にすればよい。
1階の条件から　P = (Q^2-1)^(1/2)　が得られる。

と解答はあるのですが、 Pを最大化するにはどうすればいいのか見当が付きません。
補足しますと、効用u(z,h)で　zは消費財　hは土地の消費量　
Hは面積(固定)　Pは都市の人口　よって　一人当たりの土地消費量は　h = H/P
Qは所与のパラメーター

問題は最適な都市規模Pを求めるものなのですが、どうやったらこのように導けるのでしょうか。
どなたか回答お願いします。

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

先に送った回答の中のU'(P)の式の右辺に間違いがあることに気づいたので、修正しました。
正しくは

U'(P) = (1/2)｛(H/P)^(1/2)/[1-(Q-P)^2]^(1/2)｝｛(-1/P)[1-(Q-P)^2] + 2(Q-P)｝

となるはずなので、確かめてほしい。

お礼

ありがとうございます。おかげで解までたどり着けることが出来ました。
合成関数の微分については何となく分かるので頑張ってみます。

回答No.1

statecollege

U（P）をPについて最大化するためには、U(P)をPで微分して０と置き、Pについて解けばよい。微分は得意ですか？合成関数の微分の公式を用います。ちょっとごちゃごちゃしますが、整理すると

　U'(P) = (1/2)｛(H/P)^(1/2)/[1-(Q-P)^(1/2)]｝｛(-1/P)[1-(Q-P)^2] + 2(Q-P)｝

を得ます。U'(P) = 0と置くと、左辺の 2番目の｛　｝の中の式がゼロ、すなわち

　（-1/P)[1-(Q-P)^2]+2(Q-P) = 0

となります。これをPについて解くと求める解を得ます。自分で計算して確かめてください。