線形型の効用関数について

質問

効用関数U（ｘ１、ｘ２）＝ｘ１+ｘ２
初期保有（ｗ１、ｗ２）＝（１０，９０）

財の価格が（ｐ１、ｐ２）の時消費者需要を求めよ　という問題なのですが、こうした線形型の効用関数の場合はどう考えたらよいのでしょうか？

max　ｘ１+ｘ２
ｓ.ｔ　ｐ１ｘ１+ｐ２ｘ２＝１０ｐ１+９０ｐ２

ｐ１、ｐ２が分からないので場合分け？のようなものをしなければならないのでしょうか・・・？
初歩的な質問かもしれませんがよろしくお願いします；

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

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P1/P2>1のとき
x1＝０
x2＝（１０p1+９０ｐ2）／ｐ1

⇒

P1>P2(つまりp1/P2>1)のとき
x1 =0
x2 = (10P1+90P2)/P2

が正しいですね。あなたのx2の式の右辺のP1はP2の誤植？

P1=P2(つまりP1/P2=1）のときは、無差別曲線（の一つ）と予算線が一致するので、予算線上のどの点も（予算制約の下で）効用を最大化しているので、消費の組はx1+x2=100を満たす任意のx1≧0、x2≧０である。（つまり、予算制約式P1x1+P2x2=10P1+90x2においてP1=P2とおくと、x1+x2=100を得る。）

P1<P2（つまり、P1/P2<1のとき）
x1 = (10P1+90P2)/P1
x2 = 0
あなたの答えは正しい。

要するに、効用関数がリニアということはx1とx2が完全代替的なので、所得は全部価格が低いほうの財に支出される。価格が同じなら、どちらでも無差別、ということ。

お礼

ありがとうございます。
x1+x2=100となる理屈は理解できるのですが、するとP1=P2のときのこの問題の回答とは特に具体的な数値を出さずに「x1+x2=100を満たす任意のx1≧0、x2≧０」‥で良いということなのですよね？？
何度もすいませんでした＞＜

回答No.3

statecollege

回答２で、質問には全部答えたつもりだけれど、まだ疑問は残っているのだろうか？

最適解がすべて正なら、内点解（interior solution)、この問題のように０を含むような解を端点解（corner solution)といいます。この質問に即していうと、X1X2平面の縦軸あるいは横軸に最適解があるからです。このような場合は微分して０とおく、「古典的」方法では解は見つけられません。もう少し上のレベルでは、不等式の制約条件のもとでの最大化問題を解くためにKuhn-Tucker(クーン・タッカー）条件というのを学びます。この質問の問題のような単純な問題の場合は、私が示したように、図を描いて直感的に解いたほうが簡単に解を見つけられるのです。

回答No.1

statecollege

最大化問題の定式化はその通りだけれど、そのまま通常の方法で最大化しようとしてもうまくいかない！（端点解があるからだ！）
・まず与えられた効用関数から導かれる無差別曲線（群）を、X1を横軸に、X2を縦軸にとったX1X２平面上に描いてみてください。
・その図に初期保有点(10,90)を書き入れる。
・つぎに、予算線を書き入れる。予算線の傾きは-P1/P2で、かつ必ず初期保有点(10,90)を通ることを確認する。
・場合分けが必要です。P1/P2>1のとき、P1/P2=1のとき、それからP1/P2＜１ときの３つの場合に分けて考える。効用最大化はどこで起きる？（３つの場合で答えは違ってくることを確かめよ）。

以前に同様の問題に答えたことがあるので、以下の回答（↓）を参考にしてください。

　　　　http://okwave.jp/qa/q8377790.html

解答が与えられていないのなら、あなたの答えを「補足質問」の欄に示してください。合っているかチェックします。

補足

ありがとうございます。

P1/P2>1のとき

x1＝０
x2＝（１０p1+９０ｐ2）／ｐ1

P1/P2＜１のとき
x1＝（１０p1+９０ｐ2）／ｐ1
x2＝０

ということでしょうか？

P1/P2=1のとき…が良く分からないです…。