効用最適化の問題２

質問

ある個人の効用は今期の消費量C₁と来期の消費量C₂に依存して効用関数U(C₁,C₂)=C₁C₂で与えられるとする。

今期の財の価格は100、来期の財の価格110
現在一万円の所得を有しており、これを今期の財の消費に当てることも銀行に預けて来期の消費に当てることもできる。銀行に預けた場合には５％の利子が付いてくるものとする。この個人の最適な今期と来期の消費量を求めよ。

という問題なのですが、５%の部分をどう考えたらいいのかが分からず・・。

また、問２で効用関数がU(C₁,C₂)=min{C₁、C₂}であった場合の最適な今期と来期の消費を求めよ
という問題もあるのですが、

問１だけでも構わないので、お時間のある方よろしくお願いいたします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

この問題もあなたの以前の問題と同じく、予算制約をきちんと定式化することができれば、あとは通常の効用最大化問題と同じように解ける。

　　今期の消費支出は100C1
　　来期の消費支出は110C2ですが、この来期の支出を現在価値（今期の価値）に直さないと、上の今期の消費支出とは合計できないので、来期の消費支出の現在価値を求めると110C2/(1+0.05)となる。よって、予算制約はこれらを合計して

(*)　　　100C1 + 110C2/1.05 = 10,000

となる。予算制約(*)の下で効用U(C1,C2) = C1C2を最大化すればよい。ここからは、自分で解いてください。（答えが出たら、補足質問で報告していただければ、チェックします。）

(*)を導く、別の方法を紹介しましょう。いま、今期の貯蓄（預金）をSと書くと、今期の予算制約は

　　　　100C1 + S = 10,000

来期の予算制約は、この貯蓄（元利合計）を取り崩して使うので

　　　　110C2 = (1+0.05)S

となる。これら二つの式からSを消去すると、上の(*)現在価値の予算制約が得られることを確かめなさい。

問２のような効用関数はC1とC2が完全補完型の効用関数といい（レオンチェフ型効用関数ともいう）、無差別曲線はL字型になります。この無差別曲線群のグラフをC1を横軸、C2を縦軸にとって描き、そこへ予算制約(*)を描き、効用最大はどこでおきるか観察しなさい。これがヒントです。できた答えを「補足」欄へ報告してみてください。

お礼

遅くなってすいません。やってみたところ、このやり方で答えを導く事が出来ました。問２の方も出来たみたいです。現在価値を考えなければならないというのは気づきませんでした。丁寧な解説をしていただき、ありがとうございました。

回答No.2

statecollege

回答１のヒントに従って解いてみたのだろうか？以前の問題のように、ラグランジェアン関数

　　L = C1C2 + λ[10,000 - 100C1 + (110/1.05)C2]

を作って、LをC1, C2, λで偏微分して０と置くことによって求められるし、より簡単には教科書にある予算制約下の効用最大化の１階の条件

　（*）　　MRS = 価格比（現在財の将来財に対する相対価格）

の公式を用いても良い。効用関数が問１のように与えられるときは

　　　MRS = C2/C1

であり、現在財と将来財の相対価格＝100/(110/1.05) = 105/110であるから、(*)は結局

　　　C1/C2 = 105/110

となる。これと、予算制約式を連立させれば、効用を最大化するC1とC2が得られる！

問２は、無差別曲線はL字型となる（なぜそうなるか自分で調べてみることが大事！）ことから、予算制約のもとでの効用最大化は、L字型無差別曲線のキンクの部分（尖っている部分）で起こることがわかる。キンクの部分は

　　　C１ = C2

を満たすので、これと予算制約とから、C1 = C2 = 10,000/215となることがすぐに計算できる。なお、このような効用関数ではMRSを、キンクの部分では定義できない（なぜかわかる？）ので、上の公式（効用最大化の１階の条件）は利用できないことに注意されたい。