数IIの微分の問題を教えていただけますか？

質問

数IIの微分の問題を教えていただけませんか？

閲覧ありがとうございます。

Ｆ(ｘ)＝ｆ(sinx)＋f(cosx)
ｆ(ｘ)＝ax＾3＋bx＾2＋cx＋dとする。

Ｆ´(π)の値を求めよ
という問題で回答が

Ｆ´(ｘ)＝３acosxsin＾2x＋2bcosxsinx＋ccosx
－3asinxcos＾2x－2bcosxsinx－csinxとなるので

とあるのですが
cosxsin＾2xや－がつく辺りがよくわかりません。

sinx＝Ｘと置いてＸ＾3を微分すると
３Ｘ＾2にはならないのでしょうか？

なぜcosxが入るのか説明をお願いできたらと思います。

回答No.1

Trick--o-- · ベストアンサー

> sinx＝Ｘと置いてＸ＾3を微分すると
> ３Ｘ＾2にはならないのでしょうか？

X^3 を X で微分すると、3X^2になるでしょう。
しかし今回は、X^3をｘで微分する必要があります。

これには「合成関数の微分」という方法を使います。

y = f(g(x))
としたとき
y=f(u) , u=g(x)
とおくと
dy/dx = dy/du・du/dx = f'(u)・g'(x)
となります。

この例だと
f(g(x)) = (sinx)^3
なので
u = g(x) = sinx
y = f(u) = u^3
となり
dy/dx = 3u^2 * cosx = 3sin^2x * cosx = 3cosxsin^2x
となります。
（*aすれば）回答の ３acosxsin＾2x と一致しますね。

参考URL：

http://bit.ly/lmFZK9

お礼

ご丁寧に教えていただいてありがとうございました。

合成関数のことを忘れていました。
またの機会があれば宜しくお願いします。

回答No.2

info22_

>　cos(x)・sin＾2(x)や－がつく辺りがよくわかりません。

{a・sin^3(x)}'=a{(sin(x))^3}'
=a{3(sin(x))^2}・{sin(x)}' (←合成関数の微分:{f(g(x)}'=f'(g(x))g'(x) )
=3a・(sin(x))^2・cos(x)
=3a・cos(x)・sin^2(x)

{a・cos^3(x)}'=a{(cos(x))^3}'
=a{3(cos(x))^2}・{cos(x)}' (←合成関数の微分:{f(g(x)}'=f'(g(x))g'(x) )
=3a・(cos(x))^2・{-sin(x)}　(←cos(x)の微分が「－sin(x)」で「－」がでてくる）
=－3a・sin(x)・cos^2(x)
など「－」負号は{cos(x)}'=－sin(x)の微分に由来するものです。

お礼

教えていただいてありがとうございました。

sinxを微分するとcosxになるんですね。
忘れていました。