数III 微分の問題です

質問

f(x)=asin2x+cosx+2x が 0≦x≦2π で極大値、極小値をそれぞれ１つずつもつようなaの範囲を求めよ。

という問題です。
微分して2倍角の公式を使い、t=sinxとおいて、解の配置問題に持ち込む流れはわかるのですが、
tの値1つに対してxの値が1つ対応するわけではないので、その先の処理で詰まってしまいました。

場合分け以降からではなく、
できれば全体の解答を作っていただきたいです。

よろしくお願いします。

回答No.3

muturajcp

f(x)=asin2x+cosx+2x
の定義域は閉区間
0≦x≦2π
だから区間の端点での値
f(0)=1
f(2π)=1+4π
が必ず極値となる
(
f'(x)=0でなくても極値の定義から
x=0の近傍はU(0)={x|0≦x<ε}で
f'(0)>0のときはf(0)が極小
f'(0)<0のときはf(0)が極大
x=2πの近傍はU(2π)={x|2π-ε<x≦2π}で
f'(2π)<0のときはf(2π)が極小
f'(2π)>0のときはf(2π)が極大
となるε>0が存在する
)
f(0)=1<f(2π)=1+4π
で
極大値、極小値をそれぞれ1つずつもつから
極小値=最小値=f(0)=1
極大値=最大値=f(2π)=1+4π
f'(x)≧0
fは単調増加となる
f'(x)=-4a(sinx)^2-sinx+2a+2≧0
t=sinx
f'(x)=g(t)=-4at^2-t+2a+2≧0
とおく
g(-1)=-2a+3>g(1)=-2a+1≧0
だから
a≦1/2
となる

a=0
のとき
f'(x)=-sinx+2≧1>0

0<|a|<1/8のとき
|t|≦1<|-1/(8a)|だから
放物線g(t)の頂点座標-1/(8a)はgの定義域外で
g(-1)>g(1)≧0だから
f'(x)=g(t)≧0

1/8≦a≦1/2のとき
g(-1/(8a))={1+32a(a+1)}/(16a)>0
g(-1)>g(1)≧0だから
f'(x)=g(t)≧0

a≦-1/8のとき
g(-1/(8a))={1+32a(a+1)}/(16a)≧0
だから
1+32a(a+1)≦0
(-4-√14)/8≦a≦(-4+√14)/8
(-4-√14)/8<-1/8<(-4+√14)/8
だから
(-4-√14)/8≦a

∴
(-4-√14)/8≦a≦1/2

回答No.2

NemurinekoNya

f(x)=asin2x+cosx+2x
f'(x)=2acos2x-sinx+2
極値を持つとき
f'(x)=2acos2x-sinx+2=0
でなければならない。
2acos2x-sinx+2=0　　(1)
cos2x=0の時、xは(1)を満たさないので、
2a=(2-sinx)/cos2x
は(1)と同値。

で、
y=(2-sinx)/cos2x　　(2)
y=2a
のグラフを書き、交点が2個である場合のaの範囲を求めればいいんじゃないでしょうか、この問題は。こうすれば、場合分けをする必要はありません。また、xとtとの対応関係で悩む必要もありません。
微分を知っているので、(2)のグラフは書けるはずです。実際に(2)の微分の計算をしていないので、「はず」としか言えませんけれども…

回答No.1

B-juggler

えっとね、代数学屋だから余り得意ではないけれど。

できているところまで書いてみてくれるかな？

できているはずなんだよね・・・。

　＃多分ね。

ｔ＝ｓｉｎｘ　と置いているから、　ｔの範囲がでてきているはずなんだけど。

ここだけ確認してみて？

解けてればそれでいいし、分からなかったら、解けているところまで出してください。

方針はそれでいいと思うんだけど。

でったらできているはずなんだけど。

自信はないけど。　(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)