逆三角関数の微分の問題

質問

(1)f(x) = Arctan{tanx+(1/cosx)}

(2)f(x) = Arctan{(3sinx+2cosx)/(3cosx-2sinx)}

という関数を微分する問題なんですが、どちらもどのように手をつけていけば解きやすいか検討がつきません・・・。
(1)の場合なら{tanx+(1/cosx)}をt、(2)の場合なら{(3sinx+2cosx)/(3cosx-2sinx)}をtと置いてやればできると思いますが非常に時間がかかってしまい、テストなどでは辛いです。
なにか解きやすくする方法はありますか？
ちなみに解答は　　(1)1/2　(2)1　　です。
ご教授お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

質問者の解答がないので(1)のヒントだけ。

tan(y)=tan(x)+1/cos(x)={sin(x)+1}/cos(x)…(A)
{1+tan^2(y)}y'={1+sin(x)}/cos^2(x)
この式に(A)を代入して共通分母をはらって簡単化し、
y'を求める。

お礼

両辺に微分していたんですね。質問してから気づきました・・・。すみません。

理解しました。ありがとうございました！

補足

なるほど。tan(y)＝の形に変形するんですね。
ですが{1+tan^2(y)}y'={1+sin(x)}/cos^2(x)っていうのがどうやってでてきたのかがわかりません・・。(A)を変形したんですか？

回答No.3

debut

No1です。

＞これを計算するしかないんですかね？
同じことを書こうとしてました・・・
ｔ'=1/cos^2x+sinx/cos^2x=(1+sinx)/cos^2x
1+t^2=1+(sinx+1)^2/cos^2x=(cos^2x+sin^2x+2sinx+1)/cos^2x
=2(1+sinx)/cos^2x
を時間がかかるとみるか、そうでないか、どうなのでしょうか？

お礼

少し計算のスピードに自信がないもので。。ですがそのように解いていっても普通のことですよね。
ありがとうございました！

回答No.1

debut

＞非常に時間がかかってしまい
ｔとおいたとき、どのような計算をしているですか？
それがわからないと・・・

補足

f'(x)=(1/1+t^2)*(t)'　という風に計算していくと思うんですが・・・これを計算するしかないんですかね？