微分の質問です！！

質問

y=(e^-2x)sin3x　が等式 ay+by'+y''=0 を満たすとき、定数a,bの値を求めなさい。
この場合、まずy=(e^-2x)sin3xの式を微分すればいいと思うのですが、どうも混乱してしまい、できません。
y'= (-2e^-2x）sin3x + (e^-2x)3sinxcosx
= (e^-2x)sinx(-2+3cosx)
y''=(-2e^-2x)sinx+e^-2xcosx(3sinx)
このようなやり方であってますか？
一番分からないのは、sinやcosの微分です。
sinxの微分はcosx,cosxの微分はsinxだということまでは分かるのですが、例えば(sin^2)xの微分は2sinxcosxになりますよね？
では、sin3xの微分は、3sinxcosxなのでしょうか？それとも3cosxでしょうか？

回答No.3

oldyork

sin3xの微分は単純な合成関数の微分です

3x=X　とでもおいて、sinXの微分だと思えばすぐに間違いに気がつくでしょう

合成関数の公式は
ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ））の時、ｙ’＝ｆ’（ｘ）・ｇ’（ｘ）
※厳密には違いますが分かりやすさ優先で
　要するに置き換えた後の式の微分×置き換えた部分の微分、となります

従ってy=sin3xとするなら、3x=Xとまず置き換えて、F=sinXとして、
F'=cosX
X'=3
より、ｙ’＝F'・X'＝3cos3x　となります

参考URL：

http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/bibun-kiso.html

回答No.2

silver_y

sin3xの微分は合成関数の微分を使い
　　　　　　sin’3x =(3x)' x cos3x = 3cos3x
となります。

回答No.1

spring135

＞sinxの微分はcosx,cosxの微分はsinxだということまでは分かるのですが

間違いです。cosxの微分は-sinx

>sin3xの微分は、3sinxcosxなのでしょうか？それとも3cosxでしょうか？

両方とも間違いです。3x=yとおくと

d(sin3x)/dx=(dy/dx)(dsiny/dy)=3cosy=3cos3x