微分・積分の初歩の問題を教えてください。

質問

F(x)=ax/(bx^2+cx+d)

とした場合
f(x)=F'(x)の求め方がまずわかりません。

その場合、以下の不定積分は成り立ちますか？
∫f(x)dx=F(x)+C=ax/(bx^2+cx+d)+C

そして、x=0 から x=50 の定積分の答えはF(50)で合ってますか？

回答No.2

Willyt · ベストアンサー

与式を微分すれば簡単に求まります。これは｛ｆ（x）/g(x)｝=｛f'(x)g(x)-f(x)g'(x)｝／g(x)^2 という公式を使います。

　ｆ（ｘ）＝｛a(bx^2+cx+d)-ax(2bx+c)｝/（(bx^2+cx+d)^2

∫f(x)dx=F(x)+C=ax/(bx^2+cx+d)+C　は成立します。

そして、x=0 から x=50 の定積分の答えはF(50)で合ってます。

お礼

とてもわかりやすい解説でした。
ありがとうございます。

回答No.1

spring135

F(x)=ax/(bx^2+cx+d)

積の微分（1）、商の微分（2）が使えます

（1）F(x)=ax*(bx^2+cx+d)^(-1)=g(x)*h(x)

f(x)=F'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)

=a*(bx^2+cx+d)^(-1)+ax*(-1)*(bx^2+cx+d)^(-2)*(2bx+c)

=[a*(bx^2+cx+d)-ax*(2bx+c)]/(bx^2+cx+d)^2

=a(-bx^2+d)/(bx^2+cx+d)^2

(2)F(x)=ax*(bx^2+cx+d)^(-1)=p(x)/q(x)

f(x)=F'(x)=[p'(x)q(x)-p(x)*q'(x)]/q(x)^2

=[a*(bx^2+cx+d)-ax(2bx+c)]/(bx^2+cx+d)^2

=a(-bx^2+d)/(bx^2+cx+d)^2

∫f(x)dx=F(x)+C=ax/(bx^2+cx+d)+C 成り立ちます。

F(50)だけでは積分定数Cが残ります。

正しくは

∫[0→50]f(x)dx=F(x)[0→50]=F(50)-F(0)

です

お礼

ありがとうございます。