f(z)の式に表す方法

質問

複素関数の問題です。
z=x+iyとする時、f(x,y)=(x^3-3xy^2+x)+i (3x^2 y - y^3 + y)をf(z)に表すにはどうすればよいのでしょうか？

回答No.3

OurSQL · ベストアンサー

せっかくラプラス方程式やコーシー・リーマンの方程式を解いて、u(x, y) や v(x, y) を求めたのです。
それなのに、u(x, y) + i v(x, y) を f(z) に変形できず大幅減点では、あまりにももったいない。
簡単な方法があるので、覚えておくと便利ですよ。

まず、
f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y)
において、y に 0 を代入して、x だけの関数にします。つまり、
f(x) = u(x, 0) + i v(x, 0)
あとは、x を z に置き換えるだけ。
f(z) = u(z, 0) + i v(z, 0)

この問題の場合、
f(x, y) = (x^3 － 3xy^2 + x) + i (3x^2 y － y^3 + y)
--> f(x) = (x^3 + x) + i * 0 = x^3 + x
--> f(z) = z^3 + z

お礼

ありがとうございました。
とても参考になりました。

回答No.4

OurSQL

下の回答のように f(x, y) を定義すると、f(x) と書いた部分を f(x, 0) に修正する必要がありますね。やはり、

f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y)

ではなく、ふつうに

f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y)

と書いておきたい気がします。この問題の場合も、

f(x + i y) = (x^3 － 3xy^2 + x) + i (3x^2 y － y^3 + y)

と書くほうが自然かもしれません。

回答No.2

alice_44

f(z) = { (Re z)^3 - 3(Re z)(Im z)^2 + (Re z) } + i { 3(Re z)^2 (Im z) - (Im z)^3 + (Im z) }

回答No.1

gohtraw

ｚ＾３がどうなるか計算してごらんなさい。