F=gradφとなるような関数φ(x,y,z)

質問

ベクトルF=(z*e^x - 2xy)i+(1-x^2)j+(e^x+z)kとするとき、
（i,j,kは直交座標系（x,y,z）におけるｘ方向、ｙ方向、ｚ方向の生の方向に向く単位ベクトル）
F=gradφとなるような関数φ(x,y,z)を求めろという問題がわかりません。

ðφ/ðx=z*e^x - 2xy、ðφ/ðy=・・・・
からy,zを定数,またx,zろ定数・・・として積分してそれぞれφを求めて、φを推定するみたいな解き方はどうもダメなような気がするのですが、正しい解き方がわかりません。
分かる方ご教授お願いいたします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>ðφ/ðx=z*e^x - 2xy、ðφ/ðy=・・・・
からy,zを定数,またx,zろ定数・・・として積分してそれぞれφを求めて、φを推定するみたいな解き方はどうもダメなような気がするのですが、正しい解き方がわかりません。

何故そう思うのですか?
その解き方と考え方で良いと思います。

ベクトルF=(z*e^x - 2xy)i+(1-x^2)j+(e^x+z)k ...(1)
∂φ/∂x=Fi=z*e^x - 2xy
φ=∫ (z*e^x - 2xy) dx=z*e^x - x^2*y + f(y,z)+C ...(2)

ここで
∂φ/∂y=Fj=1-x^2
φ=∫ (1 - x^2) dy=y-x^2*y+g(x,z)+C1 ...(3)

∂φ/∂z=Fk=e^x+z
φ=∫ (e^x+z) dz=z*e^x+z^2/2+h(x,y)+C2 ...(4)

で同じφ=φ(x,y,z)の式あるから, (2),(3),(4)を比較することにより

f(y,z)=y+z^2/2, C=C1=C2, g(x,z)=z*e^x+z^2/2, h(x,y)=y-x^2*y

∴φ=z*e^x - x^2*y + y + z^2/2 + C (C: 任意定数)

回答No.1

011011gb

φ(x,y,z)=y - x^2 y + E^x z + z^2/2 + C
(等)
　　　　　　　函数　φ