線積分∫(x+iy)dz について

質問

線積分∫(x+iy)dz について
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とすると、
∫f(z)dz=∫u(x,y)dx-∫v(x,y)dy+i∫u(x,y)dy+i∫v(x,y)dx であるから、
∫(x+iy)dz=∫xdx-∫ydy+i∫xdy+i∫ydx=1/2x^2-1/2y^2+ixy+ixy=1/2(x^2-y^2)+2ixy・・・(1)
一方、z=x+iyとすると、∫(x+iy)dz=∫zdz=1/2z^2=1/2(x+iy)^2=1/2(x^2-y^2)+ixy・・・(2)
となり、(1)と(2)で一致しません。
どこか違っているのでしょうか？アドバイスいただければと思います。

回答No.3

mikeyan · ベストアンサー

あまり自信はありませんが、∫xdy 、∫ydx　は線積分です。
数値積分と違い、ｘだけ、ｙだけといった単独の変化でない経路があるので、
単純に不定積分をしてはいけないのだと思います。

∫xdxや ∫ydｙ にも同様のことは言えますが、
∫xdx = ∫x*dx/dt*dt = x^2 -∫dx/dt*x*dt = x^2 - ∫xdx
∴∫xdx = 1/2*x^2
となり、普通の数値積分と同じ結果になります。

お礼

mikeyan様何度もご丁寧にご説明いただきまして、本当に感謝致しております。自分なりに数学を探究していきたいと思います。また、機会がございましたら、ぜひ宜しくお願い致します。

回答No.2

mikeyan

>∫xdy + ∫ydx ≠ ∫d(xy)　ではないかと考えるのですが、
>∫xdy + ∫ydx = ∫d(xy)　の考え方をアドバイスいただければと思います。

線積分∫xdy と∫ydx は経路によって違う値をとりますが、和は一定になります。
下記は数学的には問題あるかもしれませんが、
例えば、x=f(t),y=g(t) とすると、
∫xdy =∫f*dg = ∫f*dg/dt*dt = f*g -∫df/dt*g*dt = f*g -∫g*df = xy - ∫ydx　
∴ ∫xdy +∫ydx = ∫d(xy)

となります。正確に理解するには、先生に質問されることをお奨めします。

お礼

mikeyan様アドバイスありがとうございます。
『例えば、x=f(t),y=g(t) とすると、
∫xdy =∫f*dg = ∫f*dg/dt*dt = f*g -∫df/dt*g*dt = f*g -∫g*df = xy - ∫ydx　
∴ ∫xdy +∫ydx = ∫d(xy)』
の展開は理解できました。このように考えると、確かに∫xdy +∫ydx = ∫d(xy)になるようですね。
ただ、一方で、
∫xdy + ∫ydx = xy + xy = 2xy
∫d(xy) = xy
より、
∫xdy + ∫ydx ≠ ∫d(xy)
になってしまうのです。
この点についてはどのように考えればよろしいのでしょうか？
ぜひ、アドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。

回答No.1

mikeyan

∫xdy + ∫ydx = ∫d(xy) で、同じになりますね。

お礼

mikeyan様アドバイスありがとうございます。
「∫xdy + ∫ydx = ∫d(xy)で、同じになる」とあるのですが、
∫xdy + ∫ydx = xy + xy = 2xy
∫d(xy) = xy
で、∫xdy + ∫ydx ≠ ∫d(xy)　ではないかと考えるのですが、
∫xdy + ∫ydx = ∫d(xy)　の考え方をアドバイスいただければと思います。
よろしくお願い致します。