f(z)=z^3で定義される複素平面C上の関数fのΔ＝{z=re^iθ

質問

f(z)=z^3で定義される複素平面C上の関数fのΔ＝{z=re^iθ∈C｜r＞0,2π/3≦θ＜4π/3}への制限f｜Δをgとおく。Cから原点を除いた集合をC*と書くことにする。写像（関数）g:Δ→C*は1：1かつonto写像であることを証明せよ。
また、このことよりgの逆関数g^-1が存在しg^-1(8/27),g^-1(i8/27)はどのような数をとるか。

この問題がどうやればいいのかわからないのですが、どなたか教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

aquatarku5

こんな感じなのかなと思いますが・・・

△上の点z=re^(iθ)　（r>0,2π/3<=θ<4π/3)に対し、
f(z)=(r^3)e^(i3θ)

絶対値・偏角のとるうる値はそれぞれ0<r^3、2π<=3θ<4π
となり、原点以外の複素平面即ちC*をカバーすること
となるため全射(onto）。

f(z1)=f(z2)即ち、r1^3=r2^3かつ3θ1=3θ2のとき、
必ずr1=r2かつθ1=θ2即ちz1=z2が成立するので単射（1:1)。

g^-1(8/27)
=g^-1((2/3)^3e^(i2π))=(2/3)e(i2π/3)=(-1+i√3)/3

g^(-1)(i8/27)
=g^-1((2/3)^3e^(i5π/2))=(2/3)e(i5π/6)=(-√3+i)/3

回答No.1

Tacosan

特にひねる必要もなく, 素直に示すだけでいいんじゃないかなぁ.