コーシーリーマンの問題について

質問

φ=x^2-y^2,ψ=2xyはコーシーリーマンの式を満たすことを示せ。
また、複素関数ｗがｚの関数で表すことができない場合は、コーシーリーマンの式を満たさないことを示せ。
という問題なのですが、
＞また、複素関数ｗがｚの関数で表すことができない場合は、コーシーリーマンの式を満たさないことを示せ。
ここの解は、
例えば、x^2+iy^2のような関数はφ=x^2,ψ=y^2であり、
∂φ/∂x=2x,∂ψ/∂y=2yとなり、コーシーリーマンの関係式が満たされるのはｚ平面内で直線y=x上だけである。
よって関数x^2+iy^2は満たさない。
このような解でいいんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.4

Ae610 · ベストアンサー

>（原点のみで関係式が成り立っているとC.Rの関係式を満たしているのでしょうか？）・・・？？
原点のみでC.Rの関係式が成り立つ-->(w=f(Z)=φ(x,y)+iψ(x,y)=x^2+iy^2の例の場合に・・・)原点で微分可能である。・・・ことを示しています。

複素関数ｗがｚの関数で表すことができない場合・・・・というのはwが（正則）関数で表せない場合と言う意味だと思います。

お礼

どうもありがとうございます!!
意味不明な質問してすいませんでした。
ご丁寧にありがとうございました。

回答No.3

Ae610

ANo1,2です。
何度も何度もスミマセン。

表式が間違っていました。(ANo2 5行目)
∂φ/∂y=0,∂ψ/∂y=0ではなく∂φ/∂y=0,∂ψ/∂x=0でした。

お詫びして、訂正致します。

回答No.2

Ae610

ANo1です。
スミマセン。何か途中で終わってしまいました。

w=f(Z)=φ(x,y)+iψ(x,y)=x^2+iy^2のときは
∂φ/∂x=2x,∂ψ/∂y=2y
∂φ/∂y=0,∂ψ/∂y=0
よって原点のみでC.Rの関係式が成り立つ。

C.Rの関係式を満たさないのは、例えばw=Re(z)=x (z=x+yi)

お礼

ご丁寧にどうもありがとうございます!!
原点のみで関係式が成り立っているとC.Rの関係式を満たしているのでしょうか？
＞C.Rの関係式を満たさないのは、例えばw=Re(z)=x (z=x+yi)
とあるように解としてはw=Re(z)=x (z=x+yi)の式を求めていったほうがよろしいんでしょうか？

回答No.1

Ae610

C.Rの方程式
∂φ/∂x=∂ψ/∂y , ∂φ/∂y=－∂ψ/∂x
が示されればよい。
φ=x^2-y^2 から∂φ/∂x＝2x
ψ=2xyから∂ψ/∂y＝2x
後の式も同様。