複素関数:Z^Zの実部と虚部を求めること

質問

X 及び Y を実数としたとき、Z=X+iY (iは虚数単位) として、
複素関数:Z^Z (注：記号 ^ は、べき乗を表す)　
実数部分と虚数部分を、それぞれ X, Y の関数として求めたい。

即ち、(Z^Z)の実数部分=f(X,Y) ,、(Z^Z)の虚数部分=g(X,Y) として
f(X,Y) 及び g(X,Y) を求めたいのですが、この解を教えてください。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

Z^Z = exp(Zlog(Z))
=exp( (X+iY)(0.5log(X^2+Y^2)) + iarctan(Y/X)))

として計算したら、

f(X,Y) = exp(0.5Xlog(X^2+Y^2)-Yarctan(Y/X))cos(0.5Ylog(X^2+Y^2)+Xarctan(Y/X))
g(X,Y) = exp(0.5Xlog(X^2+Y^2)-Yarctan(Y/X))sin(0.5Ylog(X^2+Y^2)+Xarctan(Y/X))

になりました。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。

回答No.2

info222_

Z^Z=f(X,Y)+i g(X,Y)

計算したら

f(x,y)={(X^2+Y^2)^(X/2)}{exp(-Y arg(X+iY))}cos{(Y/2)log(X^2+Y^2)+X arg(X+iY)}

g(X,Y)={(X^2+Y^2)^(X/2)}{exp(-Y arg(X+iY))}sin{(Y/2)log(X^2+Y^2)+X arg(X+iY)}

となりました。
ここで、arg(X+iY)はZ=X+iYの偏角θ(-π/2≦θ＜3π/2) です。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。