数学の数列（Σ）でわからないことがあります。

質問

写真にもあるように、この式の一段目から二段目の式になりますが、（一段目を(1)とします。二段目を(2)とします。）(1)から(2)へ計算されるときにその過程がわかりません。どう計算すれば(1)から(2)へ計算されるのでしょうか？
できればその過程を詳しくご教授できればと存じます。

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

n-1　　　　← これでいいの？
Σ (n - j)
j=2

初項は数え上げ。
n-1
Σ n = (n-2)*n
j=2

次項は台形公式で。
n-1　　(n-1+2)*(n-2)
Σ j = ----------
j=2　　　　　2

仕上げは足し合わせ。
(n-2) - (n+1)(n-2)/2 = {2n - (n+1)}(n-2)/2 = (n-1)(n-2)/2

回答No.3

nattocurry

N＝∑[j=1,n-1](n-j)＝(n-1)+(n-2)+(n-3)+......(n-(n-3))+(n-(n-2))+(n-(n-1))
ということは解っていますか？

(n-(n-3))=3
(n-(n-2))=2
(n-(n-1))=1
なので、

N＝(n-1)+(n-2)+(n-3)+......+3+2+1

また、

N＝1+2+3+......+(n-3)+(n-2)+(n-1)

となります。

2式の両辺を足すと、

2N＝(n-1)+1+(n-2)+2+(n-3)+3+......+3+(n-3)+2+(n-2)+1+(n-1)
2N＝n+n+n+......n+n+n
2N=n(n-1)
N=n(n-1)/2

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

2とおりの考え方ができると思います。
まず、Σの公式
Σ[k=1,n] (k)＝ n(n+1)/2

は知られているものとします。

【1つ目：Σを分配する】
Σ[j=1,n-1] (n- j)
＝ Σ[j=1,n-1] (n)- Σ[j=1,n-1] (j)
＝ n(n-1)- n(n-1)/2　（第1項の nは定数扱いにできるので）
＝ n(n-1)/2

【2つ目：n-jを置き換えてみる】
n- jについて、
j＝ 1のときは、n- j＝ n- 1
j＝ 2のときは、n- j＝ n- 2
・・・
j＝ kのときは、n- j＝ n- k
・・・
j＝ n-1のときは、n- j＝ 1

となり順番は逆ながらも 1から n-1まで和をとることと同じになっています。
式の上では n- j＝ mとおくことにすると、
Σ[j=1,n-1] (n- j)
＝ Σ[m=1,n-1] (m)
＝ n(n-1)/2

と書き下すことができます。

1つ目は、とにかくΣの公式で計算していく。
2つ目は、どのような数について和をとっているかを考えていく。
という方針になると思います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Takuya0615

ただ単に書き間違えのような気がするな・・・。

ａ＝ｎ－１
Σ（ａ）
Σ（ｊ－１）

の様ですね。

お礼

ありがとうございました。