数学の数列についてです

質問

途中式も含めて答え教えて欲しいです

回答No.2

asuncion

3)
n = 1のとき、左辺 = 2, 右辺 = 1(1+1)(4*1-1)/3 = 2より条件をみたす。
n = kのとき条件をみたすと仮定する。つまり
1・2 + 3・4 + 5・6 + ... + (2k-1)・2k = k(k+1)(4k-1)/3と仮定する。このとき、
1・2 + 3・4 + 5・6 + ... + (2k-1)・2k + (2k+1)(2k+2)
= k(k+1)(4k-1)/3 + (2k+1)(2k+2)
= k(k+1)(4k-1)/3 + 2(k+1)(2k+1)
= (k+1)(k(4k-1) + 6(2k+1))/3
= (k+1)(4k^2 + 11k + 6)/3
= (k+1)(k+2)(4k+3)/3
= (k+1)(k+2)(4(k+1)-1)/3
よりn = k + 1のときも条件をみたす。証明終

回答No.1

asuncion

1)
n = 1のとき、a[1] = 3^1 - 2^1 = 1より条件をみたす。
n = kのとき条件をみたすと仮定する。つまりa[k] = 3^k - 2^kと仮定する。このとき、
a[k+1] = 2a[k] + 3^k = 2(3^k - 2^k) + 3^k = 3・3^k - 2・2^k = 3^(k+1) - 2^(k+1)よりn = k + 1のときも条件をみたす。証明終

2)
a[1] = 1/(3*1-1) = 1/2より条件をみたす。
n = kのとき条件をみたすと仮定する。つまりa[k] = 1/(3k-1)と仮定する。このとき、
a[k+1] = a[k]/(3a[k] + 1) = (1/(3k-1))/(3/(3k-1)+1) = (1/(3k-1))/((3+3k-1)/(3k-1)) = 1/(3k+2) = 1/(3(k+1)-1)よりn = k + 1のときも条件をみたす。証明終

さしあたりここまでにします。