数列のわ

質問

自然数1,2,3・・・・・nについて、この中から異なる2つの自然数を選び、その積を計算する。積の総和を求めよ。
n
Σは面倒なのでΣと省略しました。
k=1

1の段の総和：1*1+1*2+1*3+・・・・+1*n-1*1=Σk-1
2の段の総和：2*1+2*2+・・・・・+2*n-2*2=Σ2k-4
nの段の総和：・・・Σnk-n^2=(1/2)(n^3-n^2)

1の段の総和+2の段の総和+・・・・nの段の総和=Σ(1/2)(k^3-k^2)

1*2と2*1など、重複あるので1/2倍する。
よって、(1/4)Σ(k^3-k^2)=(1/4)[{(1/2)n(n+1)}^2-(1/6)n(n+1)(2n+1)]

計算結果は途中なのですが、解説では
(1/2)[{(1/2)n(n+1)}^2-(1/6)n(n+1)(2n+1)]=(1/24)(n-1)n(n+1)(3n+2)
となっています。

解説と違うやり方なのでどこか違うのかわかりません。

回答No.3

m-1016 · ベストアンサー

no2.です。補足しておきます。

回答者様の解法で、この問題を解こうとする場合、

1/2Σ[i=1→n] { (Σ[j=1→n) ij ) - i^2 )

とする必要があります。

つまりは、nの段の総和：・・・Σnk-n^2=(1/2)(n^3-n^2)　とすることで、

nの段であれば問題ないのですが、

3の段(n=3)なら3*1から3*3までの和（から3*3を引いたもの)
9の段(n=9)なら9*1から9*9までの和(から9*9を引いたもの)

になってしまっているということかと思います。

お礼

ありがとうございます
混乱していたのですが、なんとかわかりました

回答No.5

ereserve67

解説のやり方はおそらくこうです．数えやすい形で数えて重複を取り除いていく．この方針です．

まず，1～ｎから重複をゆるしてとった2個をi,jとすると，

ΣΣij

ところがこの中にはi=jとなるものが含まれています．それを除くと

（☆）ΣΣij-Σi^2

今度はij(i≠j)となるものの総和ですが，和は任意のijに対しi>jとi<jの対をともに加えているのでこれを一つだけ和をとればよいことになります．一方を取り除くために2でわります．

(1/2)(ΣΣij-Σi^2)

=(1/2){Σ_{i=1}^niΣ_{j=1}^nj-Σ_{i=1}^ni^2}

=(1/2)[{n(n+1)/2}^2-(1/6)n(n+1)(2n+1)]

=(1/24)n(n+1)[3n(n+1)-2(2n+1)]

=(1/24)n(n+1)(3n^2-n-2)

=(1/24)n(n+1)(n-1)(3n+2)

※質問者様のやり方と異なるように見えることころは，次の公式で同じことが分かります．（各段の総和の式）

1^3+2^3+・・・+n^3={(1/2)n(n+1)}^2

∴Σk^3=1^3+2^3+・・・+n^3={(1/2)n(n+1)}^2=(Σi)^2=ΣiΣｊ=ΣΣij

∴(1/2)(Σk^3-Σk^2)=(1/2)(ΣΣij-Σi^2)

お礼

ありがとうございます
解説では、a,b,cを例にして、
T=ab+bc+ca
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2T

T=.....

このような感じで解いています。

回答No.4

yyssaa

解説と違うやり方なのでどこか違うのかわかりません。
＞(1/2)倍しなければ、以下の通り解説と同じ計算結果になる。
1の段の総和：1*1+1*2+1*3+・・・・+1*n-1*1=n(n+1)/2-1
2の段の総和：2*1+2*2+・・・・・+2*n-2*2=n(n+1)-4
・・・・・・・・・・・・・・・・
nの段の総和：n*1*n*2+・・・・・+n*n-n*n=n^2(n+1)/2-n^2
∑(k=1→n){k^2(k+1)/2-k^2}
=(1/2)∑(k=1→n)k^3-(1/2)∑(k=1→n)k^2
=(1/2){n^2(n+1)^2}/4-(1/2)n(n+1)(2n+1)/6
=(1/24)n(n+1)(3n^2-n-2)=(1/24)n(n+1)(3n+2)(n-1)

お礼

>(1/2)倍しなければ、以下の通り解説と同じ計算結果になる。
これも一応考えたのですが、1/2倍しないと重複して数えてしまいます（解説でも解き方は違いますが、最後に1/2倍しています）。

回答No.2

m-1016

>1の段の総和+2の段の総和+・・・・nの段の総和=Σ(1/2)(k^3-k^2)

これは、

(1*1-1*1)+(2*1+2*2-2*2)+(3*1+3*2+3*3-3*3)+(4*1+4*2+4*3+4*4-4*4)+…

という計算をしているように思います。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

ferien

＞解説と違うやり方なのでどこか違うのかわかりません。

nの段の総和
＝n・1＋n・2＋……＋n・n
＝n(1＋2＋……＋n)
＝nΣk
＝n・{(1/2)n(n＋1)}

解説のやり方は、第ｋ項（ｋ段の総和）ak＝{(1/2)n(n＋1)}kと考えて、
Σakを出し、そこから、1・1＋2・2＋……＋n・nを引いています。
（{(1/2)n(n＋1)}は、各項に共通の定数と考えています。）

２×求める和＝(1/2)n(n＋1)(1＋2＋……＋n)－(1・1＋2・2＋……＋n・n)
＝(1/2)n(n＋1)Σk－Σk^2
＝(1/2)n(n＋1)・(1/2)n(n＋1)－(1/6)n(n＋1)(2n＋1)
＝{(1/2)n(n＋1)}^2－(1/6)n(n＋1)(2n＋1)
よって、
求める和
＝(1/2)[{(1/2)n(n＋1)}^2－(1/6)n(n＋1)(2n＋1)]

一般項akの求め方（考え方）が間違っていると思います。

お礼

ありがとうございます
解説では、a,b,cを例にして、
T=ab+bc+ca
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2T

T=.....

このような感じで解いています。