高校数学の問題です。

質問

《問い》(3x^2＋x－2)^5 の展開式におけるx^6の係数を求めよ。

2008年の慶応大の問題です。

良かったら計算過程も詳しく書いてくださると助かります。

お手数ですが、どなたかお願いしますm(__)m

回答No.2

FT56F001 · ベストアンサー

もっといいやり方があるかもしれませんが，
二項定理を使って，力任せに展開してみます。

(3x^2+x-2)^5
={(3x^2+x)-2}^5
= (3x^2+x)^5 + 5C1*(3x^2+x)^4*(-2)+5C2*(3x^2+x)^3*4+5C3*(3x^2+x)^2*(-8)+・・・
・・・は，x^5以下あるいはx^7以上の項を表します。

与式= (3x^2+x)^5 + 5C1*(3x^2+x)^4*(-2)+5C2*(3x^2+x)^3*4+・・・
=(3x+1)^5*x^5 -2*5*(3x+1)^4*x^4 + 10*4*(3x+1)^3*x^3+ ・・・
=5C1*3x*x^5 - 10*4C2*9x^2*x^4 + 40*27x^3*x^3 +・・・
=(15 -540+1080)x^6+・・・
=555x^6+・・・

よってx^6の係数は555

お礼

ご丁寧にありがとうございましたm(__)m

もう一度解いてみます。
とても助かりました！

回答No.1

noname#139365

一般項は{5!/(p!q!r!)}×{(3x^2)^p}×{(x)^q}×{(-2)^r}
={5!/(p!q!r!)}×{3^p}×{(-2)^r}×{x^(2p+q)}---(1)
なのでp,q,rは負でない整数で
p+q+r=5---(2)
xの指数が6の時
2p+q=6---(3)
p=(6-q)/2
(2)よりq≦5より(3)を満たすp,qの整数の組は
(p,q)=(3,0)(2,2)(1,4)なので(2)より
(p,q,r)=(3,0,2)(2,2,1)(1,4,0)

このp,q,rを(1)に代入してそれぞれを足せば求める係数

お礼

ご丁寧にありがとうございましたm(__)m

このやり方は知らなかったので参考にして解いてみます。
とても助かりました！