因数定理の問題です

質問

こんにちは。因数定理について質問したいのですが。例えば次のように
「２x3＋x2＋x－１を因数分解せよ」という問題があったらP(A)＝０を探してそして因数分解をしますよね。
この場合参考書の回答によるとP(１/２)なのですが、僕はまだ数学的センスがないので、整数ばっかりをさがしてしまします。ここで質問なのですが、このような分数を見つける方法はありませんか？地道に探すしかないのでしょうか？

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

例えばA=p/qが有理数の解とすると、因子qx-pを持ちます。
よって、2x^3+x^2+x-1=(qx-p)(ax^2+bx+c)の形になります。
ここで、右辺を展開して（全部展開する必要はない）最高次の
係数と、定数項を考えます。
最高次の係数はqa、定数項は-pcで、左辺と比較すると、
qa=2、-pc=-1となって、qは2の約数、pは-1の約数になります。
（約数はマイナスもあり。）
よって、qとしては1,-1,2,-2、pとしては1,-1しかあり得ません。
よって、Aとしては、1,-1,1/2,-1/2しかあり得ません。
これらが解でないならば、無理数解か複素数の解しかないことになります。
特に、最高次の係数が1の場合は、整数ではない有理数解はあり得ませ
ん。（qは1の約数となるので、p/q=p,-pの場合しかない。）
この場合は、定数項の約数から整数解を探せば良いのです。
なければ、無理数解か複素数解しかありません。

お礼

このような理由からANo1の人のいってることになっていくのですね。深く納得致しました。細かい説明本当にありがとございました。

回答No.1

nious

代入する数は、「±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)」です。

お礼

なるほど。それだとこの答えにも当てはまりますね。
回答ありがとうございました。