ランダムウォーク

質問

ランダムウォークの分布で
f(a)=1/π√x(1-x)

の証明を教えてください。

回答No.2

さゆみ（@sayumi0570）

文字化けしちゃってます

回答No.1

さゆみ（@sayumi0570）

あまりちゃんと理解してないので参考になるか判らないけどアークサイン法則について書いた物です
コイン投げ　表＋１　　裏ー１　確率は０．５づつ

Ｓ０＝０　　　Ｓｎ＝（Ｘ１＋Ｘ２＋・・・・Ｘｎ）　　Ｘ１は＋１かー１

Ｓｎ＝ｋ　　になるのは　　（ｎ　Ｃ　（ｎ＋ｋ）/2）通り

Ｓ１＞０　、Ｓ２＞０　・・・・・Ｓｎ＝ｋ＞０　　について
　　Ｓ１＝１→Ｓｎ＝ｋ　になるのは　（ｎ－１　Ｃ　（ｎ＋ｋ－２）/2）通り　　Ａ

　　Ｓ＝－１→Ｓｎ＝ｋ　になるのは　（ｎ－１　Ｃ　（ｎ＋ｋ）/2）通り　　Ｂ

Ａ－Ｂ＝Ｘ軸に交わらない物の数

Ａ－Ｂ＝（ｋ/ｎ)（ｎ　Ｃ　（ｎ＋ｋ）/２）

Ｆ２ｎ　　　Ｐ（Ｓ１＞０、Ｓ２＞０・・・・Ｓ（２ｎ－１）＞０　Ｓ２ｎ＝０）
はじめて２ｎでＸ軸と交わる確率

Ｕ２ｎ　　Ｐ（Ｓ２ｎ＝０）　　　２＾（－２ｎ）（２ｎ　Ｃ　ｎ）

Ｓ１＞０　、Ｓ２＞０　・・・・・Ｓｎ＝ｋ＞０　　の個数は（ｋ/ｎ)（ｎ　Ｃ　（ｎ＋ｋ）/２）

Ｓ１＞０、Ｓ２＞０・・・・・Ｓ（２ｎ－１）＝１　の個数は
（１/（２ｎ－１））（２ｎ－１　Ｃ　ｎ）＝（１/ｎ)（２ｎ－２　Ｃ　ｎ－１）

Ｆ２ｎ＝（１/ｎ)（２ｎ－２　Ｃ　ｎ－１）×２×２＾（－２ｎ）

Ｆ２ｎ＝（１/２ｎ）２＾（－（２ｎ－２）（２ｎ－２　Ｃ　ｎ－１）

Ｆ２ｎ＝（１/2n）Ｕ（２ｎ－２）

Ｕ（２ｎ－２）－Ｕ２ｎ＝（１/2n）Ｕ（２ｎ－２）＝Ｆ２ｎ

　　　　　　ｎ
Ｕ２ｎ＝　Σ　Ｆ２ｋ・Ｕ（２ｎ－２ｋ）
　　　　　ｋ＝１

ＡＳ（２ｋ、２ｎ）　　２ｋ正の側で、２ｎ－２ｋ負の側の確率

ＡＳ（２ｋ、２ｎ）＝Ｕ２ｋＵ（２ｎ－２ｋ）

　　　　　　　　　　　ｋ
ＡＳ（２ｋ、２ｎ）＝　Σ（１/2）Ｆ２ｈ・ＡＳ（２ｋ－２ｈ、２ｎ－２ｈ）
　　　　　　　　　　ｈ＝１
　　　　　　　　　　ｋ
　　　　　　　　＋　Σ（１/2）Ｆ２ｈ・ＡＳ（２ｋ、２ｎ－２ｈ）
　　　　　　　　　ｈ＝１

　　　　　ｋ
　　＝　Σ（１/2）Ｆ２ｈ・Ｕ（２ｋ－２ｈ）Ｕ（２ｎ－２ｋ）
　　　　ｈ＝１
　　　　　　　　　　ｎ－ｋ
　　　　　　　　　＋Σ（１/２）Ｆ２ｈ・Ｕ２ｋ・Ｕ（２ｎ－２ｈ－２ｋ）
　　　　　　　　　　ｈ＝１

ここで
　　　　　ｋ
　　　　　Σ（１/2）Ｆ２ｈ・Ｕ（２ｋ－２ｈ）＝Ｕ２ｋ
　　　　ｈ＝１

　　　ｎ－ｋ
　　　　Σ（１/２）Ｆ２ｈ・Ｕ（２ｎ－２ｈ－２ｋ）＝Ｕ（２ｎ－２ｋ）
　　　ｈ＝１

なので

ＡＳ（２ｋ、２ｎ）＝Ｕ２ｋＵ（２ｎ－２ｋ）

ＡＳ（２ｋ、２ｎ）＝（2^（－２ｋ））（２ｋ　Ｃ　ｋ）・（２＾(-（２ｎ－２ｋ）)）（２ｎ－２ｋ　Ｃ　ｎ－ｋ）

　　　　　　　　　　　　　　　　２ｋ！　　　　　　　　　（２ｎ－２ｋ）！
ＡＳ（２ｋ、２ｎ）＝-------------------------------------------------
　　　　　　　　　　　（２＾２ｋ）　Ｋ！・Ｋ！　（２＾（２ｎ－２ｋ）・（ｎ－ｋ）！（n－ｋ）！

スターリングの式

ｎ！≒√（２ｎπ）（ｎ＾ｎ）（e＾－ｎ）

を使うと

　　　　　　　√（４ｋπ）・（（２ｋ）＾（２ｋ））（e＾－2ｋ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
Ｕ２ｋ≒-------------------------------------------------＝---------
　　　　　　（２＾２ｋ）√（２ｋπ）（ｋ＾ｋ）（e^-k）√（２ｋπ）（ｋ＾ｋ）（e^-k）　　　　√（ｋπ）

、　　　　　　　　　　　　１
Ｕ（２ｎ－２ｋ）≒--------------
　　　　　　　　　　√（（ｎ－ｋ）・π）

、　　　　　　　　　　　　　　　　１
ＡＳ（２ｋ、２ｎ）＝--------------
　　　　　　　　　　　π√（ｋ（ｎ－ｋ）