単純ランダムウォークの分散の式

質問

下記のサイトで8.2 <ランダムウォーク>の分散の式を解いています。
https://parco1021.hatenablog.com/entry/2020/05/24/213000

これの
V(S_n) = n{ E(X_i) - E(X_i)^2 }
= ​n { (p + q) - (2p - 1)^2 }
= ​n { p + q - (4p^2 - 4p + 1) }
= n ( p + q - 4p^2 + 4p - 1)
の
n{ E(X_i) - E(X_i)^2 }
は、例の分散の式に従うと、正しくは
n{ E(X_i^2) - E(X_i)^2 }
じゃないですか？
（「2乗」を消しゴムで消した跡がうっすら見えますよね？）

（上記が合っているかは分からないですけど）
E(X_i)　だか　E(X_i^2)
が
p + q
になる理由が分からないです。

問題の定義から
p + q = 1
ですよね・・・いや、ただ書いてみただけです・・・。

どうか教えて下さい。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

ご指摘の通り、

＞n{ E(X_i^2) - E(X_i)^2 }

これが正しい式です。
(X_i)^2 は1という値しかとらないので、
その期待値も必ず1になります。

いちおう途中過程も追うと
X_i = 1 → (X_i)^2 = 1^2 、となる確率が p
X_i = -1 → (X_i)^2 = (-1)^2 、となる確率が q
なので
E(X_i^2) = (1)^2 *p + (-1)^2 *q = p + q
となります。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

分散の式が合っていて嬉しいです。

> (X_i)^2 は1という値しかとらないので、
> その期待値も必ず1になります。

なるほど、理解出来ました。

後出しジャンケンですが、私も
X_i = 1 → (X_i)^2 = 1^2
X_i = -1 → (X_i)^2 = (-1)^2
までは計算していたんですよ。
でも、「そのまま足したら」2になって「違うなぁ」と諦めました。
pとqをそれぞれ掛けてあければよかったんですね。
もっと勉強します。
ご回答ありがとうございました！