ランダムな点の間隔の分布

質問

１次元上にランダムに点を配置したとき隣同士の点の間隔（距離）の分布は指数分布に従うとどこかで聞いた気がしますが、どうやって証明したら良いのでしょうか。
１次元上にランダムに配置した点の座標を小さい方からＸ１、Ｘ２、Ｘ３・・Ｘｎ・・とすると、隣同士の距離Ｌ１＝ｘ２－ｘ１、Ｌ２＝ｘ３－ｘ２・・・とするときＬに対してその個数の密度関数はどのようになるのでしょうか。その証明の方法を教えて下さい。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１です。
　お礼をありがとうございます。

＞教えて頂いた証明は１次元上にランダムに配置された点がある時、ある点から最も近い点までの距離の分布だと思いますがいかがでしょうか？
＞これは隣同士の距離の分布と同じでしょうか。

　なるほど、確かに＃１の確率は、片側(自分より右側)だけの分布でした。ごめんなさい。
　これを両側にするためには、点が存在しない区間を２倍し（ｘ→２ｘ）、ｘ～ｘ＋δで点が存在する確率を 2C1 倍する（両側のどちらか一方に点が存在すればよいので)ことになりますので、隣の点までの距離がｘ～ｘ＋δの範囲にある確率は、次のように書き換えられます。

　　F(x+δ)－F(x)＝(1-nδ)^(2x/δ)×n(2δ)　　・・・・・（C)

　あとは、＃１と同様の式変形により、次の確率密度関数が求められます。

　　f(x)＝2n・exp(-2nx)　　　　・・・・・・（D)

　これにより、λ＝2n のときの指数分布になります。

お礼

Mr_Holland さん再度教えて頂き誠にありがとうございます。
ただ私が聞きたかった質問の意味は次ぎのと通りです。
教えて頂いた証明は「最近接点間の距離の分布」であり、「隣同士の距離の分布」とは違うような気がします。
具多的に考えると考えやすいので、例えば０＜ｘ＜１０のランダムな点の座標がX1=1,x2=2,X3=5,X4=7,X5=8の５点とした場合、隣同士の距離はL1=1,L2=3,L3=2,L4=1となります。一方最近接点間距離はL1=1,L2=1,L3=2,L4=1となります。教えて頂いた証明は後者の「最近接距離の分布」を示しているように思います。「隣同士の距離の分布」がどうなるかを知りたいのですが？
お忙しい中何度も聞いて失礼かと思いましたが、宜しくお願いいたします。

補足

kysin です。良く考えてみたらMr_Holland さんのおっしゃっている意味が分かりました。「この回答へのお礼」の中で再度質問した件は私の理解不足でした。
疑問点は解決しました、ありがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

距離１の間にｎ個の点をランダムに配置したとき、ある微小区間δの間に点がある確率は、ｎδ　となります。
　そこで、距離ｘまで隣に点がない確率をＦ(x)としますと、隣の点までの距離がｘ～ｘ＋δの範囲にある確率について、次の関係が成り立ちます。
　　F(x)＝Ｐ(X≦x)
　　F(x+δ)－F(x)＝(1-nδ)^(x/δ)×nδ　　・・・・・（A)

　この式は、ある微小区間δで点がない確率 (1－nδ) が x/δ 回連続して起こり、次の微小区間で点がある確率 nδ を掛けて求めています。
　さて、この式の両辺を δ で割り、δ→０で極限をとってみますと、（δ→0　の表記は省略します。）
　　lim{F(x+δ)－F(x)}/δ＝n×lim {(1-nδ)^(1/δ)}^x
　⇔F'(x)＝n・{exp(-n)}^x
　∴f(x)＝n・exp(-nx)　　　　・・・・・・（B)
となります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0#.E5.9F.BA.E6.9C.AC.E7.9A.84.E3.81.AA.E5.AE.9A.E7.BE.A9

　ここで、式（B)のf(x)は隣の点までの距離がｘとなる確率であり、その右辺は、λ＝ｎとしたときの指数分布の確率密度関数になっています。
　したがって、以上のことから「１次元上にランダムに点を配置したとき隣同士の点の間隔（距離）の分布は指数分布に従う」ことがいえます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%88%86%E5%B8%83

お礼

親切に答えて頂きありがとうございます。
よければもう一つ教えてください。
教えて頂いた証明は１次元上にランダムに配置された点がある時、ある点から最も近い点までの距離の分布だと思いますがいかがでしょうか？
これは隣同士の距離の分布と同じでしょうか。
例えばランダムな点の座標が0.1,0.2,0.5,0.7,0.8の５点とした場合、隣同士の距離はL1=0.1,L2=0.3,L3=0.2,L4=0.1となります。一方最も近い点の距離はL1=0.1,L2=0.1,L3=0.2,L4=0.1となります。教えて頂いた証明は後者の分布を示しているように思いますが如何でしょうか？