ランダムウォークのマルコフ性の証明

質問

Y_1 , Y_2 , …, Y_n , …　を、同分布でそれぞれ独立である確率変数列であるとし、

P(Y_i = 1) = p , P(Y_i = -1) = q　(i=1,2,3,…)
p + q = 1 , 0≦p,q≦1

とします。このとき、{S_n}を、

S_0 = 0
S_n = Σ[i=1～n] Y_i

としたとき、{S_n}はランダムウォークと呼ばれる確率過程に成ります。
この確率過程{S_n}のマルコフ性、つまり、

P( S_n = x+1 | S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x ) = P( S_n = x+1 | S_{n-1} = x )

を示したいのですが、以下の証明法は正しいでしょうか?何だかあっさりし過ぎていて不安なのですが…。

P( S_n = x+1 | S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x ) =
P( S_n = x+1 , S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x )/P( S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x ) =
P( Y_n = 1 , S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x )/P( S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x ) =
P( Y_n = 1 )P( S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x )/P( S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x ) =
P(Y_n = 1) = p = P( S_n = x+1 | S_{n-1} = x )

特に3個目の等号が成立するかどうかが不安です。
Y_nはS_1,S_2,…S_{n-1}と独立だから成立するのではないか、と思うのですが、独立という概念に対する理解がまだまだ甘いからなのか、何だか不安です。

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

P(S_1=s_1,...S_i=s_i,...,S_n=s_n)
=P(Y_1=s_1,Y_2=s_2-s_1,...,Y_i=s_i-s_{i-1},...,Y_n=s_n-s_{n-1})
=P(Y_1=s_1)*P(Y_2=s_2-s_1)*…*P(Y_i=s_i-s_{i-1})*…*P(Y_n=s_n-s_{n-1})
というのはY_iの独立性から大丈夫だと思います。

ということで、心配されていることもいけるんではないかと思うのですが・・・どうでしょうか？
（説明としては完全にはしょってますが・・・^^;）

お礼

行けそうですね。
いや実はこの問題、半年くらい前の授業の中で先生が、数学的帰納法を使って証明できると言ったような記憶がおぼろげながらに残っていたので、あっさりと数学的帰納法も使わずに証明出来てしまって不審に思っていたと言う次第なのです(^^;

それでは、暫くしたら閉めます。
ありがとうございました。

回答No.2

kony0

P(S_1=s_1,...S_i=s_i,...,S_n=s_n)
=P(Y_1=s_1,Y_2=s_2-s_1,...,Y_i=s_i-s_{i-1},...,Y_n=s_n-s_{n-1})
=P(Y_1=s_1)*P(Y_2=s_2-s_1)*…*P(Y_i=s_i-s_{i-1})*…*P(Y_n=s_n-s_{n-1})
={P(Y_1=s_1)*P(Y_2=s_2-s_1)*…*P(Y_i=s_i-s_{i-1})*…*P(Y_{n-1}=s_{n-1}-s_{n-2})}*P(Y_n=s_n-s_{n-1})
=P(S_1=s_1,...S_i=s_i,...,S_{n-1}=s_{n-1})*P(Y_n=s_n-s_{n-1})

・・・いくらなんでもはしょりすぎでした。（汗）