一次元のランダムウォーク

質問

下の問が解けなくて困っています。解説をして頂けると非常にありがたいです。お願いしますm(__)m

（問）一次元のランダムウォークする粒子を考える。離散的な時間（ｔ＝0,1,2,...）を考え、時刻ｔ＝0では原点にいるとする。この粒子の各時刻での変位は確率pで１、確率p-1で-1とする。時刻tでの粒子の位置ｘ（ｔ）の期待値、分散の値を一般のpで計算しなさい。

回答No.1

rnakamra

時刻tの間に+1移動した回数をk、とすると-1進んだ回数はt-kとなります。
当然、このときの粒子の位置は、(+1)*k+(-1)(t-k)=2k-tとなります。

このような事象の起こる確率をP(t,k)とすると
P(t,k)=tCk*p^k*(1-p)^(t-k)
となります。

期待値は、
Σ(k:0~t) (2k-t)P(t.k)
となります。(計算は自分でしてください。)
分散は(位置の2乗の期待値)-(位置の期待値の2乗)から得られます。

お礼

回答ありがとうございます。

理解することができました。