ランダムウォーク

質問

自分の使っている物性論の教科書に書いてあったのですが。

フォノンの平均自由行路Ａというものを考える。
これはフォノンが曲がらずに進む平均距離である。すなわち１つのフォノンの運動の軌跡は折れ線グラフのようになる
このひとつひとつの折れ線の長さの平均がＡである。
ところで、統計数学のランダムウォークという問題がある。
このようなランダムな運動を行う粒子は、n回の折れ線運動の後に最初の位置からどの程度離れた場所にいるか、という問題である。
その答えは　√n*Aとなる。
行ったり戻ったり無駄足が多いので,n*Aとはならない。

と記述されています。

なぜ、√n*A離れた場所にいるのか導出過程が書かれておらず…気になっています。
ご指導よろしくお願いします。

回答No.4

reon555 · ベストアンサー

X軸Y軸2次元の平面をフォノンが原点(0,0)から運動を始めるとすると、フォノンは
1回目は原点から半径Aの円の円周上A'にいます。このとき原点とA'の距離はAです。よってフォノンはA離れた場所にいます。
2回目はA'を原点とした円の円周上A''にいます。このとき原点とA''の距離を求めますが、フォノンが2回目に移動した距離は、原点とA''の距離の平均を指します。（図を描いてもらうとわかると思いますが、）原点とある一点A'を結びその線と垂直に交わる直線と（2回目の）円との交点2つa,bとおくと、原点とaまたはbとの距離が平均となります。
ピタゴラスの定理より原点とaまたはbとの距離は√2*Aとなります。
3回目はA''を原点とした円の円周上A'''にいます。先ほどと同じように、原点とA'''の平均距離を求めることになります。原点と3回目の円の中心A''の線分（長さ√2*A）と3回目の円の半径Aとで、ピタゴラスの定理を使うと√3*Aとなります。
この繰り返しが行われることになるので、n回目には、フォノンは原点から√n*A離れた円周の上にいることになります。

図を描くとわかると思いますが、距離は、“原点と円の中心を結んだ線分の垂線と円との交点をx,yとすると原点とxまたはyとの距離”という考えかたが重要になると思います。

お礼

実際に図を描いてみて、納得しました。
ありがとうございます。

回答No.3

ojisan7

たびたび、失礼します。
２次元のランダムウォークについて、詳しく計算のされたＵＲＬがありましたので参考にして下さい。わたし自身も、このＵＲＬを読ませていただき、学ぶところが多いと感じました。ありがとうございました。

http://www.geocities.jp/supermisosan/randomwalk.pdf

お礼

とても詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

ojisan7

昔、読んだ記憶がありますので、実験の結果というよりは、確率、統計的に導かれていたような気がします。フォノンに限定してしまうと、物性論の教科書に頼ってしまいますが、ランダムウォークは統計力学の分野になりますので、その方面の教科書にあると思います。また、ブラウン運動の説明の部分にも記述されていると思いますので、調べてみて下さい。

回答No.1

doubleimpact

酔っ払いをイメージしてみましょう
酔っ払いはまっすぐ歩くことが出来ません
あっちへフラフラ、こっちへフラフラ…

酔っ払いの歩く速度を仮に３ｋｍ／ｈとして、
５時間歩いたと仮定すると、
この酔っ払いはスタート地点から
√３＊５（ｋｍ）
の地点にいる

というのがランダムウォークだったと思います
計算式で導かれたのではなく、
（マウス等を使った）実験の結果だったと思います

お礼

お答え頂きありがとうございます。
イメージしやすい例えでありがたいです。

計算式ではなく、マウス等を使った実験の結果だったのですか…
うーん、なんだかしっくりこないです。

なんで√が３にだけかかるんだろう…とか、いろいろ考えてしまいます。

実験の過程を示したソース等ございましたら、教えていただけるとありがたいです。