ランダム・ウォークの問題！！

質問

どれだけ考えてもわかりません（TT）

問題ですが、
ランダム・ウォーク　０＝S0，S1，S2，・・・・において

P（１＜max0≦ｎ≦10　Sn≦２｜S10＝－２）を求めよ。

ただし、Sの後ろの数字は小さき数字Sワン、Sツーってな感じで、maxの後ろの０≦ｎ≦10も小さい。≦は＜の下に_がある形です。）

とき方を教えてください。

回答No.2

yaksa · ベストアンサー

ごめんなさい。なんか、めちゃめちゃ計算ちがってますね。
10C2 = 45、 10C1 = 10、45-10 = 35通り
でした。寝てたとしか思えないです。。。
最終的な確率は、P = 35*p^4*(1-p)^6 です。

お詫びに、ちょっとだけ詳しく説明します。
でも、図を使わないと、かなり説明しずらいです。

1< max_{0≦ｎ≦10}(Sn) ≦２
この式って、つまり、max_{0≦ｎ≦10}(Sn)=2
ということでいいんですよね？なんで、わざわざこんんな書き方をしているのかわからないですが。

まず、S10=-2なんで、右に4回、左に6回、行ったわけです。
こういう(S10=-2になる）道筋は10C4通りあります。←これはいいでしょうか？

問題は「maxS=2で、かつ、S10=-2」になる道筋ですが、
これは、
「maxS≧2で、かつ、S10=-2」になる道筋の数から、「maxS≧3で、かつ、S10=-2」になる道筋の数をひいたものです。

で、「maxS≧2で、かつ、S10=-2」になる組み合わせを考えます。
これは、「横(x)6、縦(y)4の碁盤の目上に道路があるときに、左下の点(0,0)から、右上の点(6,4)に行く最短の道筋のうちで、y≧x+2の部分を通る道筋」と考えることができます。ここで、この碁盤の目を、直線y=x+2で折り返すと、右上の点は(2,8)に移されます。(0,0)から(2,8)への最短な道筋の数は、10C2=45 で、これが、「maxS≧2で、かつ、S10=-2」となる道筋の数です。＃２の参考ＵＲＬに図があります。（＃１の参考ＵＲＬの中のページです。）

同様に、「maxS≧3で、かつ、S10=-2」になる道筋は、碁盤の(0,0)から(1,9)への最短な道筋になって、10C1=10通りあります。

結局、「maxS=2で、かつ、S10=-2」になる道筋は、10C2-10C1=35通りあるわけです。

最後に確率を求めます。
右に行く確率をpとすると、左に行く確率は1-pです。
S10=-2になる道筋は、右に4回、左に6回行っているわけですので、道筋１つの確率は、p^4*(1-p)^6です。
「maxS=2で、かつ、S10=-2」になる道筋は、10C2-10C1=35通りですから、求める確率は、35*p^4*(1-p)^6です。

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node85.html

回答No.1

yaksa

よく、記法がわかりませんが、
S10＝-2になる道筋のうち、1< max_{0≦ｎ≦10}(Sn) ≦２ てことですか。
つまり、S0...S10の最大値が２で、かつ、S10=-2 てことでＯＫ？

こういうのは、鏡像原理を使って解きます。
参考ＵＲＬに説明があります。（カタラン数）

最大値が、2以上で、かつS10=-2の組み合わせ 10C2 = 40通り
最大値が、3以上で、かつS10=-2の組み合わせ 10C1 = 30通り
求める組み合わせは、40-30=20通り

したがって、右に行く確率をpとして、
求める確率は P = 40*p^4*(1-p)^6

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node83.html

補足

1< max_{0≦ｎ≦10}(Sn) ≦２　です。すいませんわかりずらくて。。

回答していただいて、一生懸命読んだんですが、読んでてもあんまり意味がわかりませんでした。せっかく回答いただいたのにすいません。

最大値が、2以上で、かつS10=-2の組み合わせ 10C2 = 40通り
最大値が、3以上で、かつS10=-2の組み合わせ 10C1 = 30通り
求める組み合わせは、40-30=20通り？？？

↑これどういう意味ですか？
あと求める確率は P = 40*p^4*(1-p)^6というところもなんでいきなりこんなものがでてくるかもわかりません。
もしよろしければ教えてください。
お願いします。