統計について 【ランダムウォーク？】

質問

教えて！gooを始めて利用させていただきます。

次の問題に関してご質問させていただきます。

問　第i期に次のような確率分布に従う株価の変化Xiを考えなさい：
P(xi)=p　　for xi= a
1-p for xi=-a
ただし，0<p<1, a>0。
すなわち、第i期に確率pで株価はaほど上昇し、確率1-pでaほど下落する可能性があります。
簡単化のために、1)現在（第0期）の株価S0は0です、2)各期の株価の変化Xiは独立に生じるとしましょう。
このとき、第n期の株価Snをつぎのように表すことができます：
Sn=X1+X2+・・・Xn

この時、確率変数Snの確率関数、積率母関数、平均、分散を求めなさい。

以上のような問題です。

一応、私は次のように考えてみました。
まず、n期あるうちのr期(r回)でXi=aであるとすると、
f(x1+x2+…xn)=nCr p^r (1-p)^(n-r)・・・(1)となる。
また、Sn=X1+X2+…+Xn=ar-a(n-r)=2ar-anであり、
rについて解くとr=(an+Sn)/2a・・・(2)となる。
よって(2)を(1)に代入することにより、
確率関数f(Sn)=nC(an+Sn)/2a×p^(an+Sn)/2a×(1-p)^(an-Sn)/2aを得られる。

平均に関しては私の導出過程が少々回りくどいようですので、
それは割愛させていただきますが、結果はan(2p-1)となりました。

ここで、本題の質問なのですが、
１．この確率関数は正しいのでしょうか？
２．同様にこの平均は正しいのでしょうか？
３．積率母関数および分散はどのように導出すればよいのでしょうか？

どれか1つでも構いませんので、ご回答くださいますよう何卒よろしくお願いいたします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

X=(an+Sn)/2aと置くと、
Xは、２項分布B(n,p)に従いますね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%83

１．あってると思います。
２．あってます。E(Sn) = 2a*E(X)-an = 2anp-an = an(2p-1)
３．
２項分布の積率母関数は E[exp(θX)] = (1-p+p*e^θ)^n ですから、
Snの積率母関数は
E[exp(θSn)] = E[exp(θ(2X-an))] = exp(-anθ)E[exp(2θX)]
　= e^(-anθ)*(1-p+p*e^(2θ))^n
です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
平均はこんなに簡単に導出できることに驚きました。
改めて考えてみると、Snをそのまま代入すれば良かったのですね。

補足

積率母関数に関してですが、
Sn=2aX-anですから、
E[exp(θ(2X-an))]ではなくE[exp(θ(2aX-an))]ですよね？
よって、改めて計算するとe^(-anθ)*[1-p+p*e^(anθ)]となりますよね？

ところが、この積率母関数を用いて分散を導出してみるとVar(Sn)=0となってしまします。
度々の質問で申し訳ないのですが、分散は0で正しいのでしょうか？
直感的にはpが含まれていないといけないような気がするので、計算結果に自信を持てません。
よろしければ、ご教示のほどお願いいたします。

回答No.2

rabbit_cat

すいません。
φ(θ) = E[exp(θSn)] = E[exp(θ(2aX-an))] = exp(-anθ)E[exp(2aθX)]
　= e^(-anθ)*(1-p+p*e^(2aθ))^n
ですね。
分散は、
V[Sn] = φ''(0) - (φ'(0))^2 = 4a^2*n*p(1-p)
です。

実際には、分散は、
V[Sn] = V[2aX-an] = V[2aX] = (2a)^2*V[x] = 4a^2*n*p(1-p)
と積率母関数を使うまでもなく計算できます。

お礼

再度ご回答いただきありがとうございます。
分散は0で正しいかと質問させていただいたあとに、
再度計算いたしましたところ、回答者さまと同じ結果になりました。

正しい結果が出たあと、どうにかして回答者さまに連絡しようといたしましたが、
ここ『教えて！goo』では、そのような手段は取れないのですね・・・。
お手を煩わしてしまい、誠に申し訳ございませんでした。

いくつもの質問にご回答していただいて、大変助かりました。
まだまだ勉強不足ですので、今後ともさらに勉強しようと思います。
その際に疑問点があった場合には、何卒よろしくお願い致します。
それでは、失礼いたします。