ランダムウォークの分散について

質問

ランダムウォークでは、分散は時間に比例すると本に書いてありますが、その証明を知りたいです。
時間1の時、確率1/2で1か-1になるので、平均0で分散は1。時間2の時は分散2。時間3の時は分散は3・・・というのはわかるので、時間tの時の分散はtなんだろうなぁというのは想像つくのですが、その証明方法がわかりません。
ファイナンスの勉強をしているのですが、どうもすっきり前に進めません。時間tの時の分散はtという証明がわかるとすっきりするので、どなたかご教授いただければと思います。
よろしくお願い致します。

回答No.4

-souyan-

＃３の方の１個目の質問
母分散と標本分散を混同しています。
この二つでグーグルかけると一発でわかると思います。

二つ目の質問
ごめんなさいこれも期待値とるの忘れてしまいました。
E[ξ（１）*ξ（３）]＝０
ですね。
E[ξ（１）]*E[ξ（3）]=0
E[ξ（t）]=0になるのは最初の定義どおりでかつｔにおいて独立なのでこれがいえます。

回答No.3

asianmusic

回答ではないのですが、私も気になる質問だったので、追加で質問させていただきたいです。
ご回答者様の説明を自分なりに考えてみたところ、以下の様になりました。

S(t) = S(t-1)+μ+ξ(t)
S(0) = 0
漸化式の考え方から、
S(t) = S(0)+t*μ+Σ(1<i<t){ξ(i)}　・・・
これに分散をとると、
E[S(ｔ)] = E[S(0)]+E[t*μ]+E[Σ(1<i<t){ξ(i)}] = 0+t*μ+0 = t*μ

ここまではわかったのですが、その後の分散の
Var[S(t)] = Σ（S(t)-tμ）^2　
の部分が、分散の定義式からすると
Var[S(t)] = 1/t*Σ(1<j<t) [S(j)-t*μ]^2　
になる気がします。そうすると、その後の式も
Var[S(t)] = 1/t*Σ(1<j<t) [j*μ+Σ(1<i<t){ξ(i)}-t*μ]^2　
となりそうです（そこからどうやって証明にもっていけばいいかわかりません・・・）。

また、さらに質問なのですが、その後に説明していただいた
『 内側のシグマは（ξ(1)+ξ(2)+・・・+ξ(t)）*（ξ(1)+ξ(2)+・・・・+ξ(t)）になるはずなのですが実はこの内側のシグマの事情は全期間それぞれのξは全部独立なので、
ξ（１）*ξ（３）＝０
となってしまって
Σ{(1≦s≦t)ξ(s)^2}
だけになります。』
のところがわかりません。どうして　ξ（１）*ξ（３）＝０　となるのでしょうか・・・。
また、[Σ(1<i<j){ξ(i)}]^2 = [Σ{(1≦i≦j){ξ(i)}^2}　となった場合でも、
Var[S(t)] = 1/t*Σ(1<j<t) [Σ(1<i<j){ξ(i)}]^2
= 1/t*Σ(1<j<t) [Σ{(1≦i≦j){ξ(i)}^2}
の後の計算がわかりません・・・。

私の理解力不足かと思いますが、今一度詳しくご説明いただけるとありがたいです。

回答No.2

-souyan-

とんでもないミスをかいてました

Var[S_(t)]=Ｅ[Σ（S(t)-tμ）^2]
期待値をとるのわすれてました・・・

ついでに補足
そんなこんなで期待値の中身を計算していった結果

Ｅ［Σ{(1≦s≦t)ξ(s)^2} ]
平均ゼロなで、V[X]=E[X^2]が成り立ちます。
それでＥ［Σ{(1≦s≦t)ξ(s)^2} ]=ΣE[{(1≦s≦t)ξ(s)^2}]=tσ
で時間に比例と言う結果が出ます。

回答No.1

-souyan-

dS(t)=μdt+σdW
or
S_(t+1)=S_(t)+μ+ξ（ξは平均ゼロ　分散σをもった正規乱数、誤差項、ホワイトノイズと言い方いろいろ）
μ：ドリフト　σ：ボラティリティ

どっちの表記が出てくる場合が多いですか？
ほとんど同じこといってて上が連続バージョンで下が離散バージョンなだけですが・・・

わかりやすいように離散バージョンで説明します。

S_(t)=S_(t-1)+μ+ξ_t
ξは時間においてすべて独立（←お題目のようだが実はここが重要）
こんなランダムウォークです。S(0)は０とでもしときましょうか。

漸化式の考え方でやってくと
S_（ｔ）=S(0)+t*μ+Σ{（1<s<t）ξ_(s)}
こんなのであらわされます
シグマの中は全期間のクシーを足したってだけです。

これに分散とると
E(s(ｔ))=tμ
Var[S_(t)]=Σ（S(t)-tμ）^2
=Σ（Σ{（1<s<t）ξ_(s)})^2
となって
内側のシグマは（ξ(1)+ξ(2)+・・・・+ξ(t)）*（ξ(1)+ξ(2)+・・・・+ξ(t)）になるはずなのですが
実はこの内側のシグマの事情は全期間それぞれのξは全部独立なので、
ξ（１）*ξ（３）＝０
となってしまって
Σ{(1≦s≦t)ξ(s)^2}
だけになります。
Var[ξ(s)]は全部のｓにおいてσですので、
この分散は
Σ{(1≦s≦t)σ^2（＝ξ(s)^2）}
になって
tσ^2がこの分散になります。