確率（ランダムウォーク）について

質問

こんにちは、ランダムウォークの期待値に関する問題で分からないものがあり、質問させていただきました。

問題の定義は以下のようになっています。
Bi（iは自然数）は確率pで１、確率1-pで-1の値をとる確率変数である。（ただし0<p<1)
またSn＝∑[i=1→N]Bi (Nは自然数)とし、E[・]は期待値を表すものとする。

分からない設問は以下のものです。
(i)p=1/2のとき、E[(S2)^4]を求めよ。
(ii)p=1/2のとき、Kn=E[(Sn)^4]/E[(Sn)^2]^2　を求めよ。またlim[N→∞]Knを求めよ

とりあえず、(i)が分からないことには(ii)の問題ができないのですが。

±１に1/2で進むランダムウォークの場合、時刻nでの期待値は0、分散はnですよね。
だから(i)の場合、確率母関数とか使うのかなと思っているのですが、結局S１だろうがS２だろうが期待値は0だから４乗したところで答えは0じゃないかと思い、詰まっています。

どのように考えればいいのでしょうか、回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>期待値は0だから４乗したところで答えは0じゃないかと思い、詰まっています。
それはない。確率変数が偶数乗されているため、全ての確率変数の値は0以上。
その期待値は正でなければならない。

(i)については、全てのS2の値について計算してみる。
S2の値は-2.0.2しかありえないのだから計算は簡単。
P(S2=-2),P(S2=0),P(S2=2)は簡単に計算できます。
P((S2)^4=0)=P(S2=0),P((S2)^4=16)=P(S2=-2)+P(S2=2)ですのでE[(S2)^4]を計算できるでしょう。

(ii)Snは-n.-n+1,-n+2,...,n-2,n-1,nの2n+1通りの値をとることが出来ます。
P(Sn=m)をn,mで表し、
E[(Sn)^2]=Σ[m:-n～n](m^2)*P(Sn=m)
を計算して見ましょう。E[(Sn)^4]も同様に計算できるはずです。

お礼

ありがとうございました。

(i)できました。ありがとうございます。(ii)も式として書くことはできました。答えが0になってこれで正しいのかよくわからないんですけど、確率変数のｎ乗について理解できたので助かりました。

(-1)と(1)の確率変数が偶数乗されるから(-1)が(1)となって、結果、期待値も0ではなくなるのですね。

回答ありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

(ii) の分子は独立性からばらして「0 にならないもの」を数えればできそう.

ちなみに n→∞ の極限で K∞ = 3 のはず.

お礼

お返事遅れまして申し訳ございません。
K＝３ですか、もう一回考え直してみます

回答No.4

Tacosan

#2 にはこっそり書いたんだけど, 「Bi が全て独立」という条件を付けないと答えられないよね.

独立性を仮定するとちょっとは簡単になる.

お礼

確率過程の問題なので、独立性はあることが前提となっているので独立性まではちゃんと質問の中で書いていませんでした。
しかし、問題にはちゃんとBiはすべて独立とすると書いてあります。

言葉足らずで申し訳ありませんでした。

回答No.3

rnakamra

#1です。
一箇所間違えていました。
>(ii)Snは-n.-n+1,-n+2,...,n-2,n-1,nの2n+1通りの値をとることが出来ます

Snは2つおきの値しか取れませんので
Snは-n.-n+2,-n+4,...,n-4,n-2,nのn+1通りの値をとることが出来ます
ですね。

お礼

わざわざ訂正ありがとうございます。

私もそれについては少し疑問に思っていました。おっしゃる通り、2刻みでしかありえないですよね。
しかし、回数をn、Snの値をxとしてn+x=偶数という条件だったら、ｘの範囲は-n～nでもいいんじゃないかなって思いました。

回答No.2

Tacosan

#1 にも書かれてるんだけど, 「期待値は0だから４乗したところで答えは0じゃないかと思」う理由がわからん. それを認めるなら, 「期待値は0だから2乗したところで答えは0じゃないか」と思うべきだし, そうなら分散が n だとするのも不思議でしょ?

「重要な設定が 1つ抜けてるので答えられない」というのが正解のような気もする.

お礼

確かにおっしゃる通りです。