不等式の証明

質問

a≧b≧0のとき√（9a-b）≧2√a-√(a-b)を証明しなさい。

初めはa-b=kとかに置けば証明できるかなと思ったんですがよくわかりません
わかる方はヒントだけでもいいのでご教授下さい。
よろしくお願いします。

回答No.3

nattocurry · ベストアンサー

数学は、数字1つ、文字1つ違うと、答えがまったく変わってきます。
質問する上で、誤字脱字がないように注意しましょう。

{2√a+√(a-b)}^2＝4a+a-b+4√a(a-b)＝5a+4√{a(a-b)}-b

a≧b≧0より、a≧a-b≧0

5a+4√{a(a-b)}-b≦5a+4√(a^2)-b＝9a-b

9a-b≧{2√a+√(a-b)}^2
√(9a-b)≧2√a+√(a-b)

お礼

ご回答ありがとうございます。
問題文に関してはすみませんでした。

回答No.4

mister_moonlight

＞初めはa-b=kとかに置けば証明できるかなと思ったんですがよくわかりません

置き換えは、時として解法を簡単にするし、見通しがよくなる、という利点がある。
従って、方針は誤りではない。

√a＝α、√(a-b)＝β　(α≧0、β≧0)とすると、α＾2－β＾2＝b≧0より　α≧β≧0　‥‥(1)
9a-b＝(a-b)＋8a＝8α＾2＋β＾2　であるから、√(8α＾2＋β＾2)≧2α＋β　を証明すると良い。
両辺は非負から　2乗して差をとると　左辺＾2-右辺＾2＝4α(α-β)≧0　何故なら　(1)による。
等号は、α(α-β)＝0　つまり　ab＝0の時。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

Rice-Etude

補足にある通りなら、問題式の左辺も右辺も0以上の値なので、
(左辺の式)≧(右辺の式)
を証明するには
(左辺の式)^2≧(右辺の式)^2 ※つまり両辺の二乗の値の大小関係が成り立つこと
を証明すれば良いです。

結構すっきりした式にまとまりますよ。

回答No.1

Tacosan

a ≧ b なら 9a-b ≧ 8a ≧ 4a.

補足

すみません問題文ミスしてました。
右辺の-は正しくは+です。