不等式の証明

質問

今数IIの不等式の証明をやってるんですが、
1）a^2-a+b^2+b+1/2>=0
これの証明はまずどうすればいいんでしょうか。
a(a-1)+b(b+1)+1/2>=0
とかするんでしょうか??

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

(a-1/2)^2+(b+1/2)^2≧0ですね

補足

これで証明できたといっていいんでしょうか??
あと等号が成り立つ場合を調べよってことなんですが、
a=1/2,b=-1/2
でいいんでしょうか?

回答No.5

zk43

式だけ見ててもわかりにくいのかな？

平面上で見ると、(a-1/2)^2+(b+1/2)^2は、
点(a,b)と点(1/2,-1/2)の距離の２乗なので、
０以上になる。（三平方の定理を思い出す）
これが０になるのは、点(a,b)が点(1/2,-1/2)
にくっついてしまうときで、a=1/2,b=-1/2のとき。
式だけ見てても、よくわからないときは、図形的に
考えると良くイメージできると思います。
ちょっと、蛇足かな・・・

お礼

そういうことなんですねｗ
どうもありがとうございました。

回答No.4

kakkysan

NO1の方の通りですが、少し考え方のヒントを。
式が０以上である事を証明するには、次のような性質を利用します。
（実数)^2≧０…（２乗すると０以上）
（０以上）＋（０以上）≧０

そこで、与式を「平方完成」してみればよい事に気付きます。あるいは（何か)^2の因数分解が出来ないかと思いながら、式をじっと見つめます。そのうち「見えてくる」でしょう。

付録　　式>0　を証明するには
正＋正>0
（何か)^2＋正>0
大－小>0
正×正>0

を利用します（与えられた式を、上記の形に変形します）

お礼

よく分かりました。
どうもありがとうございました。

回答No.3

Mr_Holland

＞あと等号が成り立つ場合を調べよってことなんですが、
＞a=1/2,b=-1/2
＞でいいんでしょうか?

　それで構いません。合ってます。

お礼

本当に感謝感謝です。
どうもありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

2次式の不等式を考えるコツは、１）平方完成の形にする、２）因数分解の形にする、３）相加相乗平均を使う、４）微分を使う、などの方法がありますが、この問題のケースでは１）の平方完成で証明することができます。

　左辺は次のように、平方完成の形に変形できます。
　　a^2-a+b^2+b+1/2
　＝(a-1/2)^2+(b-1/2)^2　　・・・・・☆

　2乗したものは0以上であることから、左辺は2乗したものを加えたもので表されるので、必ず０以上であることがいえます。
　　(a-1/2)^2+(b-1/2)^2≧０

　ちなみに、平方完成を作るときは、どれかひとつの文字(例えば、a）に注目して整理し、a^2の係数とaの係数を考えて次のように変形していきます。
　　a^2+ka＝(a^2+ka+k^2/4)-k^2/4＝(a+k/2)^2-k^2/4
　これをaとbとに対して行えば、左辺から式☆が得られます。

お礼

分かりやすい回答をどうもありがとうございました!!