不等式の証明

質問

次の不等式を証明せよ。

(1)　|a|-|b|≦|a-b|

(2)|a|-|b|≦|a+b|

どなたか回答お願いします。

回答No.2

Mr_Holland

ANo.1さんのヒントでいけているのかと思いきや、
http://okwave.jp/qa/q6328958.html
＃　マルチポストはいけませんよ。

　さて、ANo.1さんのヒントに従って考えてみます。

(1)
　|a|-|b|<0 のとき　|a-b|≧0 なので　不等式は成立。
　|a|-|b|≧0 のとき　不等式の両辺を2乗しても不等号の向きは変わらないので
　　(|a|-|b|)^2≦|a-b|^2
　⇔|a|^2+|b|^2-2|a||b|≦(a-b)^2
　⇔a^2+b^2-2|ab|≦a^2+b^2-2ab
　⇔|ab|≧-ab　　　・・・・・・・・・(A)
を示せばよいです。
　ところで、絶対値の性質から　|x|≧-x ですから　|ab|≧-ab と不等式(A)が示されます。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411180219

　∴従って　|a|-|b|≦|a-b|　が言えます。

(2)　基本的には(1)と同様にも証明できますが、ここでは(1)の結果を利用する証明をします。
　(1)の不等式　|a|-|b|≦|a-b|　で b=-b' とおきます。
　すると、この不等式は次のように書き換えられます。

　　|a|-|-b'|≦|a-(-b')|
　⇔|a|-|b'|≦|a+b'|

　ここで　文字を　b → b' と置き換えれば
　　|a|-|b|≦|a+b|
が示されます。

お礼

すみません
ありがとうございました

回答No.1

k_kota

(1) ヒントだけ
|a|-|b|<0 とするとどうなのか
|a|-|b|>0 の時はどうなのかをそれぞれ計算すればいい。

(2)これもヒントだけ
下の式を変形して上の式と同じ形にするだけでOK。

お礼

ありがとうございます
がんばってみます