不等式の証明

質問

次の不等式を証明せよ。

(1)　|a|-|b|≦|a-b|

(2)|a|-|b|≦|a+b|

どなたか回答お願いします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(2)は
(1)が証明できれば
bを-bで置き換えれば出てくる関係です。

(1)
|a|≦|b|の時は左辺≦0,右辺≧0なので成立する。

|a|＞|b|の時は|a|-|b|＞0
(|a-b|)^2 -(|a|-|b|)^2 =a^2 -b^2 -2ab-a^2 -b^2 +2|ab|=2(|ab|-ab)≧0
∴(|a-b|)^2≧(|a|-|b|)^2
|a|-|b|＞0,|a-b|≧0　なので両辺の平方根をとっても成立するから
∴|a-b|≧|a|-|b|　この場合も不等式が成立する。

以上のいずれの場合も不等式は成立する事が証明された。

(2)
(1)により
|a|-|b|≦|a-b|
が証明された。
b=-b'とおくと
|a|-|-b'|≦|a+b'|
|-b'|=|b'|なので
∴|a|-|b'|≦|a+b'|
b'を改めてbと書けば
∴|a|-|b|≦|a+b|
となる。
よって、与えられた不等式が成立する事が証明された。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

gohtraw

（１）右辺はゼロ以上の値をとるので、左辺が負の値を取る場合与式が成り立つ。
　左辺がゼロ以上の場合、
左辺＾２＝ａ＾２－２｜ａ｜｜ｂ｜＋ｂ＾２
右辺＾２＝ａ＾２－２ａｂ＋ｂ＾２
ａｂ＞＝０であれば－２ａｂ＝－２｜ａ｜｜ｂ｜なので左辺＾２＝右辺＾２、すなわち左辺＝右辺が成り立つ。
ａｂ＜０であれば－２｜ａ｜｜ｂ｜＝２ａｂ＜－２ａｂなので左辺＾２＜右辺＾２、すなわち左辺＜右辺が成り立つ。

（２）右辺はゼロ以上の値をとるので、左辺が負の値を取る場合与式が成り立つ。
　左辺がゼロ以上の場合、
左辺＾２＝ａ＾２－２｜ａ｜｜ｂ｜＋ｂ＾２
右辺＾２＝ａ＾２＋２ａｂ＋ｂ＾２
ａｂ＞＝０であれば－２｜ａ｜｜ｂ｜＝－２ａｂ＜＝２ａｂなので左辺＾２＜＝右辺＾２、すなわち左辺＜＝右辺が成り立つ。
ａｂ＜０であれば－２｜ａ｜｜ｂ｜＝２ａｂなので左辺＾２＝右辺＾２、すなわち左辺＝右辺が成り立つ。

お礼

ありがとうございました