数学的帰納法の不等式の証明について

質問

n >= 2のとき、

1+1/2+1/3+・・・・+1/n > 2n/n+1 　　　・・・・(A)

という数学的帰納法の不等式の証明の問題で
回答を見てみたところ、

n = k + 1の時も成り立つ事を証明する為に、

(1)　(A)にk+1を代入した時の右辺
(2)　(A)にkを代入した時の式の両辺に 1/(k+1) を加えた時の右辺

(1)、(2)を使用して

　(1) < (2)　・・・・ (B)

と書いてありました(数式は省きます)。

(B)の時に、
<1>　なぜ証明する為に(1)と(2)の右辺を利用するのか
<2>　なぜ不等号が(B)のような向きになるのか

がよくわかりません。
どうかご教授お願い致します。

もしとんちんかんな事を書いていたらすみません(^^;A

回答No.5

hinebot · ベストアンサー

数学的帰納法は「k で成立すると仮定したとき、 k+1 でも成立することを示す」ものです。

1+1/2+1/3+・・・・+1/n > 2n/(n+1) 　　　・・・・(A)

に対して、示したいものは n=k+1　を代入した式

1+1/2+1/3+・・・・+1/k +1/(k+1) > 2(k+1)/(k+2) 　・・・・(C)

です。
ここで、
(1)　(A)にk+1を代入した時の右辺は (C)の右辺
(2) (A)にkを代入した時の式の両辺に 1/(k+1) を加えた時【この式を(D)とします】の左辺は、(C)の左辺ですね。
なお、
(D)の右辺は
2k/(k+1) + 1/(k+1) = (2k+1)/(k+1)
です。

(C)の左辺＝(D)の左辺＞(D)の右辺　・・・(*)

は既に分かっています。
ここで、(B)の式 (1) ＜ (2) は
(C)の右辺＜(D)の右辺
を意味しています。
これを(*)に当てはめると

(C)の左辺＝(D)の左辺＞(D)の右辺＞(C)の右辺
つまり、
(C)の左辺＞(C)の右辺
となり、(B)を示すことが (C)を示すことになる訳です。

お礼

とても分かりやすい解説、ありがとうございました。

自分では、

>(C)の左辺＝(D)の左辺＞(D)の右辺＞(C)の右辺
>つまり、
>(C)の左辺＞(C)の右辺
>となり、(B)を示すことが (C)を示すことになる

ここの考え方がなかなか結びつかなかったので理解
できなかったのだと思います。

どうもありがとうございました！

回答No.4

masterasia1919

＃３で間違いがありました。

左辺＜なんか関係ない式（１）＜右辺（２）を証明しました。の間違い最後の方です

回答No.3

masterasia1919

(1)　(A)にk+1を代入した時の右辺は

２（ｋ＋１）/｛（ｋ＋１）＋１｝

(2)　(A)にkを代入した時の式の両辺に 1/(k+1) を加えた時の右辺

2k/（ｋ＋１）+1/(k+1)

ですよね。

2k/（ｋ＋１）+1/(k+1)＝(２ｋ＋１)/(ｋ+１)ですよね？（（２）の式の変形）

２（ｋ＋１）/｛（ｋ＋１）＋１｝と(２ｋ＋１)/(ｋ+１)を比較するには単純に差をとってみればいいのではないでしょうか？

(２ｋ＋１)/(ｋ+１)ー２（ｋ＋１）/｛（ｋ＋１）＋１｝=k/(k+1)(K+2)>0だから、(２ｋ＋１)/(ｋ+１)＞２（ｋ＋１）/｛（ｋ＋１）＋１｝より、
（２）＞（１）が成立するのではないでしょうか？

つまり左辺＜なんか関係ない式（１）＜右辺を証明（２）したのではないでしょうか

回答No.2

noname#231526

数式が省略されているので何ですが、(2)>(1)を示すには、(2)-(1)を計算してそれが正であることを示します。
　具体的には、(2k+1)/(k+1) > (2k+2)/(k+2) を示すのだと思いますので、
　(2k+1)/(k+1) - (2k+2)/(k+2) を計算します。通分して計算すると二乗の項は消えて、あとは、kが正ですので簡単です。

回答No.1

tatsumi01

<1>
数学的帰納法を理解していますか。数学的帰納法は「k で成立すると仮定したら K+1 でも成立する」ですね。
だから (2) は k で成立する、というのと同じです (両辺に 1/k+1 を足しているだけですから)。
(1) が証明したい式「K+1 で成立する」です。だから (2) から (1) が言えればよいわけです。
<2>
時間がなくて詳しくフォローしません。ごめんなさい。