【不等式の証明】

質問

a,b,は正の整数
√3はa/bとa+3b/a+bの間にあることの証明

解ける方がいらっしゃいましたら
解説お願いしますm(_)m

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

この問題のbaseになってるのは　“ファーレ数列”。
それを使う手もあるが　素直に証明しよう。

(a+3b)/(a+b)-a/b＝(3b＾2-a＾2)/(ab+b＾2)
そこで、a/b＝αとすると　α＞0.(3b＾2-a＾2)＝(3－α＾2)*(b)＾2。a+3b/a+b＝(α＋3)/(α＋1)
従って、(√3-α)*{√3-(α＋3)/(α＋1)}＜0を示すと良い。

(1)0＜α＜√3　の時
√3-(a+3b)/(a+b)＝√3-(α＋3)/(α＋1)＝(√3-1)*(α-√3)/(α＋1)＜0.
よって、(√3-α)*{√3-(α＋3)/(α＋1)}＜0　は成立する。

(2)α＞√3の時
(√3-1)*(α-√3)/(α＋1)＞0で　、√3-α＜0だから成立する。

お礼

解説してもらっても、
難しく感じます(><)

数学が得意になれるように
頑張ります。
ありがとうございました^^*

回答No.3

mister_moonlight

もっと　すっきりした解法なら。

簡単のために　a/b＝αとすると　α＞0。　a+3b/a+b＝(α＋3)/(α＋1)だから
(√3-α)*{√3-(α＋3)/(α＋1)}＜0を示すと良い。
左辺＝3-√3{α＋(α＋3)/(α＋1)}＋(α＾2＋3α)/(α＋1)
通分すると、分母＞0より　分子＝(1-√3)α＾2＋2√3(√3-1)＋3(1-√3)＝(1-√3)*(α＾2-2√3*α＋3)＝(1-√3)*(α-√3)＾2＜0
何故なら、1-√3＜0、(α-√3)＾2＞0.

回答No.1

asuncion

＞a+3b/a+b

これは、(a+3b)/(a+b)のことでしょうか。