関数fが無限大に発散する

質問

「関数fが無限大に発散する」の定義

「全てのrについて『あるnについて「m>nならばf(m)>r」』」

がよくわかりません。
宜しくお願いします。
∀r∃n∀m「m>n→f(m)>r」
ということなんだと、思いますがピンと来ません。

回答No.2

funoe · ベストアンサー

「どんなｒでも」
たとえばとても大きい　ｒ＝１億　としても、

「あるｎがあって」
ｆがいつも１億以上になるのは　たとえばn=2000以上のときだな　じゃぁ、ｎ=2000としよう。

「ｍ＞ｎ　なる　すべての　ｍ　について」
ｎは2000なので、　それより大きいｍ（2000以上）ならば、

「f(m)＞ｒ」
そんなｍ（2000以上）については、ｆ（ｍ）は1億よりおおきい！

次に「ｒはどんなのでもいいのだから、もっと大きい　ｒ＝100兆にしよう」

「ｎは2000ではダメで、もっと大きいｎ＝350000以上にしよう」

「ｍ＞ｎ　なる　すべての　ｍ　について」
ｎは350000なので、それより大きいｍ（350000以上）ならば、

「f(m)＞ｒ」
そんなｍ（350000以上）については、ｆ（ｍ）は100兆よりおおきい！

てな感じで、

どんな（大きな）ｒ　に対しても、　ｎを決めることができて
それより変数（f(m)のｍの値）が大きいところでは、ｆの値をｒ以上にできるとき　　　→ｆは無限大に発散

と呼ぶことにしたんです。

お礼

回答有り難うございます。
理解できました。

回答No.3

noname#130496

ピンと来るためにはいくつか例題を解いてみるといいかもしれません。
例えばfがf(m)=mで定義されるなら質問文中の「あるn」としてrそのものを考えるとf(m)→∞が確認できますね。
任意のrについて、m>rならf(m)=m>rだから。
f(m)=logm (m>0)の場合はどうか、単調でない関数の場合はどうかなど、発散の判定を自分なりに練習してみると、定義の理解が深まると思います。

お礼

回答有り難うございます。
具体的で簡単な例題に置き換えると分かりやすいですね。

回答No.1

WiredLogic

日本語と欧米の言葉、普通の生活に使う言葉と数学の言葉、などの違いのため、こういう表現は確かに解り難いところがあります。

こういうとき、「全ての～」は「どんな～に対しても」、「ある～について…」は「…となる～がある」と、翻訳^^すると、解り易くなることがあります。

質問の定義だと、必要以上に^^言葉を補って、翻訳^^すると、

どんなに大きな数ｒを持ってこられても、mがnより大きかったら、必ずf(m)>r になるような、そんなnが必ずあるよ、

もっと思いっきり意訳すると、

どんな大きい数でもいいから、何か数を言ってみてごらん、この関数は、あるところから先はずっと増えていって、どこかに、その先では、君が言った数より、必ず大きくなっている場所が必ずある。僕は、君がどんな数を挙げても、そうなる場所を示して、そうなる理由もちゃんと教えてあげることができる。そうやって、示していったら、この関数が上限なんかなくて、どこまでも大きくなっていける関数だってことを、君は信じてくれるかい？

ってな感じでしょうか。

お礼

回答有り難うございます。
大変勉強になりました。