f:R^n→R^mの導関数の定義式は?

質問

n=m=1の時なら

lim[h→0]|f(x+h)-f(x)|/|h|

が導関数の定義ですがf:R^n→R^mの場合には導関数の定義式はどのように書けるのでしょうか?

n
Σ(lim[hi→0]|f(x1,x2,…,xi+hi,…,xn)-f(x1,x2,…,xn)|/|hi|)
i=1

では間違いでしょうか?

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

n=m=1ならわざわざ微分を行列にして、
難かしくしなくても良いです
（考えてもよいけどどんな意味が？）。

つぎに2番目ですがこれはn=3,m=1の例になります。
すなわち、多変数ではありますが実数値関数です。
すると
f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4ならfの導関数は
（∂f/∂x　∂f/∂y　∂f/∂z）＝（2x　3y　4z）
の横ベクトル、(1,3)行列になります。

つぎに一般の場合、ベクトル関数（Ｒ^mの関数）を
f=t(f1,f2,.,fm)とすれば（tは転置行列）
この微分は
|∂f1/∂x1 ∂f1/∂x2 ...... ∂f1/∂xn|
|∂f2/∂x1 ∂f2/∂x2 ...... ∂f2/∂xn|
|　　　　．．．．．．．．．　　　　　　|
|∂fm/∂x1 ∂fm/∂x2 ...... ∂fm/∂xn|
となります。

上記の表現で｜｜は行列のカッコを意味します。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4ならfの導関数は
> （∂f/∂x　∂f/∂y　∂f/∂z）＝（2x　3y　4z）
> の横ベクトル、(1,3)行列になります。
そうしますと、
点(1,2,3)でのf(x,y,z)=x^2+y^3+z^4の微分係数は
(2,6,12)となりますよね。
これは何を表しているのでしょうか?
恐らく、(2,6,12)は点(1,2,3)における接平面の「傾き」を意味していると推測します。

そう言えば平面ax+by+cz+d=0での「傾き」とはどう表せるのか習いませんでした。
(直線y=ax+bならの「傾き」はaだという事は知っていますが)
平面ax+by+cz+d=0での「傾き」はどのように表せれるのでしょうか?

回答No.3

endlessriver

おっしゃるとおり、微分を多変数ベクトル関数に
拡張するとき、接線に対応して接平面のイメージ
があったのではないでしょうか？

本論とずれてきたようです。あとは幾何学の本などで
勉強されると良いでしょう。
蛇足。
（∂f/∂x　∂f/∂y　∂f/∂z）は grad f　などとも書かれ
傾きを表していますが当然、傾きの値としては方向により
異なります。
平面ax+by+cz+d=0に「傾き」という概念があったか覚えていませんが
平面を表す量としては法線ベクトルがあったと思います。

お礼

>があったのではないでしょうか？
さようでございます。

> つぎに2番目ですがこれはn=3,m=1の例になります。
map f:R^3→R^1
ですね。

> すなわち、多変数ではありますが実数値関数です。
> すると
> f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4ならfの導関数は
> （∂f/∂x　∂f/∂y　∂f/∂z）＝（2x　3y　4z）
> の横ベクトル、(1,3)行列になります。
そうでしたか。定義域の変数数が列数、値域の変数数が行数に相当するわけですね。

> つぎに一般の場合、ベクトル関数（Ｒ^mの関数）を
> f=t(f1,f2,.,fm)とすれば（tは転置行列）
> この微分は
> |∂f1/∂x1 ∂f1/∂x2 ...... ∂f1/∂xn|
> |∂f2/∂x1 ∂f2/∂x2 ...... ∂f2/∂xn|
> |　　　　．．．．．．．．．　　　　　　|
> |∂fm/∂x1 ∂fm/∂x2 ...... ∂fm/∂xn|
> となります。
つまり、map f:R^n→R^mという写像なのですね。

例えば、写像fがf(t(x,y))=t(x^2+y,2x-y^3,x+y)というR^2→R^3
ならfの導関数は
∂(x^2)/∂x　∂(x^2)/∂y
∂(2x-y^3)/∂x　∂(2x-y^3)/∂y
∂(x+y)/∂x　∂(x+y)/∂y

=

2x　0
2　-3y^2
1 1

という3×2行列になるのですね。

> 蛇足。
> （∂f/∂x　∂f/∂y　∂f/∂z）は grad f　などとも書かれ
> 傾きを表していますが当然、傾きの値としては方向により
> 異なります。
> 平面ax+by+cz+d=0に「傾き」という概念があったか覚えていませんが
> 平面を表す量としては法線ベクトルがあったと思います。
有難うございます。
参考になります。

回答No.1

endlessriver

n=m=1の時なら
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)-Ah}/h=0
が導関数Aの定義（の１つ）です。

同様に多変数ベクトル値関数の場合も
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)-Ah}/|h|=0
となります。Ａは行列で表されます
（微分可能なら要素は∂fi/∂xj）。
詳しくは多変数関数の微積分あるいはフレシェの微分
を見て下さい（私の知識の範囲外）。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E8%BF%91%E4%BC%BC

お礼

ご回答大変有難うございます。

> n=m=1の時なら
>lim[h→0]{f(x+h)-f(x)-Ah}/h=0
> が導関数Aの定義（の１つ）です。
f(x)=ax+bならAは1×1行列で(∂f1/∂x1)=(df1/dx1) (∵1変数)
=(df/dx) (∵1変数)
=(d(ax+b)/dx)
=(a)

となるのですね。

> 同様に多変数ベクトル値関数の場合も
> lim[h→0]{f(x+h)-f(x)-Ah}/|h|=0
> となります。Ａは行列で表されます
> （微分可能なら要素は∂fi/∂xj）。
そうしますと、例えば
f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4ならfの導関数は
∂(x^2+y^3+z^4)/∂x　∂(x^2+y^3+z^4)/∂x　∂(x^2+y^3+z^4)/∂x
∂(x^2+y^3+z^4)/∂y　∂(x^2+y^3+z^4)/∂y　∂(x^2+y^3+z^4)/∂y
∂(x^2+y^3+z^4)/∂z　∂(x^2+y^3+z^4)/∂z　∂(x^2+y^3+z^4)/∂z
という3×3行列で
2x　　2x　　2x
3y^2　3y^2　3y^2
4z^3　4z^3　4z^3
という行列がf(x,y,z)=x^2+y^3+z^4の導関数になるのですかね。
勘違いしておりましたらご指摘頂ければ幸いでございます。