調和関数 証明

質問

調和関数　Σ{n=1,∞｝1/nが発散することをしめす問題で
級数の部分和
Sn=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+・・・
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+・・・　―(1)とし

A=1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+・・・　　―(2)とすると
(1)＞(2)は明らかである。

(2)の第n項までの和はA=1+1/2+1/2+・・・+1/2=1+n/2　―(3)
従ってSn＞1+n/2
n→∞の時(3)は発散するので部分和も発散する。
級数の部分和は正の無限大に発散するのでΣ{n=1,∞｝1/nは発散する。

正しく証明できていますか？
言葉や式の表し方などまずい点があれば教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

論旨は概ねよいが、細かい点が二つ。

まず、Sn の n が何者だか判らない。
Sn = Σ[k=1…n] 1/k としたのならば、
下の方の Sn ＞ 1+n/2 にはならない。
Sn ＞ 1+n/2 が正しいとするれば、
この Sn は、Tm = Σ[k=m] 1/k のうち、
極一部の Tm の値しかとらないことになる。
(キリよく 1/2 づつまとめられるような m だけ)

いづれにせよ、＞ 1+n/2 が示されたのは、
部分和の列の中でトビトビの項でしかないので、
これが +∞ 発散するだけでは、もとの級数の
発散を示したことにはならない。

各項が正であることから Tm の単調増大を言って、
その部分列 Sn が +∞ 発散なら Tm も +∞ 発散
…と持って行けばよい。

お礼

ありがとうございます。
自分でも書いていてnなどをどう言葉で表すか曖昧だったので助かりました。

回答No.2

alice_44

一部訂正：
＞ これが +∞ 発散するだけでは、もとの級数の
＞ +∞ 発散を示したことにはならない。

Tm が、(振動を含め)発散することであれば、
Sn → +∞ だけで言えている。
Tm → +∞ を言いたければ、A No.1 の後半が要る。