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無限数列
lim{(3^n)+(2^n)}/4^n n→∞ この極限値を求める問題なんですが、 まず分母は無限大に発散、 分子も無限大に発散するのに答えが0に収束すると なっているんですが、どうしてですか? おねがいします。
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分母と分子は共に∞に発散してもその発散のスピードが違うのです。 例えばxとx^5では共に→∞(X→∞)になりますが、 ∞に大きくなるスピードはx<<x^5となります。 この場合も∞への発散のスピードが 分子{(3^n)+(2^n)}<<分母4^nとなっているので、 全体として0に収束します。 分母・分子を4^nで割ってみれば lim(3/4)^n+(2/4)^nとなり0に収束することがよく分かると思います。
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例えば、lim[n→∞] x/xも、分子・分母ともに、無限大に発散する にも関らず1に収束する事は言うまでもありませんね…。 lim[n→∞] x/x^2の場合も、分子・分母ともに確かに無限大に発散しますが、lim[n→∞] 1/x = 0となります。 分子が大きくなるにつれて分母は分子よりもはるかに大きくなって結果として値が小さくなるからです。 同様に、質問の件についても、 lim[n→∞][(3^n) + (2^n)} / 4^nも lim[n→∞]{(3/4)^n + (1/2)^n}により、 0に収束する事が言えます。 ミクロレベルではどちらも増えていますが、マクロレベルで見ると 値が小さくなっているのですね。 これは、例えば、年々借金が増大していっても、収入がそれを上回って増加していけば、結果としては借金で苦しむどころか年々豊かになるという理屈と同じかもしれませんね..。
お礼
なるほど よくわかりました ありがとうございます
- vigo24
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分子の方が速い場合は∞に発散します。
お礼
わかりました ありがとうございます
お礼
ありがとうございます。 分母分子がともに発散の場合 分母のスピードが速ければ0に 収束するのですか? 逆に分子のほうが速い場合はどうなりますか?