f(x)=0はxで微分可能か

質問

松坂さんの『線形代数入門』という本で
p84例3.17に
全ての実数tに対して定義された無限回微分可能な実数関数全体の集合をVとすれば、ＶはＲ上のベクトル空間である。というものがあります。

そこで、全ての実数tに対して定義された無限回微分可能な実数関数の例として
sintやcost、e^tなどがあがりますが、その全体の集合ＶがＲベクトル空間であるならば、それは０を要素としてもたなければいけません。だとすると、全ての実数tに対して定義された無限回微分可能な関数としてf(t)=0も入るとしなければおかしい気がします。

また微分の定義から、f'(t)=lim(h→0){f(t+h)-f(t)}/hで
０を微分したら０という結果が得られます。

また０が無限回微分可能であるとすると、全ての実数係数の多項式は無限回微分可能ということになります。

このように考えたら０は微分可能であると考えられるのですが、正しいのでしょうか？

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

はい。f(x)=0を初め、全ての定数関数、全ての実係数多項式関数は無限回微分可能です。
実のところ、これらを含め質問の例に挙げられた三角関数や指数関数などは全て解析関数(実解析関数)という無限回微分可能な関数より狭いカテゴリーに属します。
# (参考)解析関数: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

ありがとうございます。参考になりました。

回答No.3

noname#171582

わかりやすい例としてsintやcost、e^tを出してるだけで
ｆ（ｔ）＝０がその例の中に入らないとは言っていない。

補足

例は本に書いてたのではなくて、自分であげたものです。
わかりにくくてすみません

回答No.1

Tacosan

「このように考えたら」がどのようなのかよくわかりませんが, 単純に「定義から微分可能」で OK.

お礼

回答ありがとうございます。定義からでＯＫでしたか。