数列の発散の定義について

質問

数列の発散の定義は
∀M∈R ∃N_0∈N s.t. N_0≦n → a_n>M
という事実は知っているのですが、この定義を収束のε-Nの否定命題から導くことは無理なのでしょうか？

収束：∀ε∈R ∃N_0∈N s.t. N_0≦n → |a_n-α|<ε
でこれの否定命題が
∃ε∈R ∀N_0∈N s.t. N_0≦n → |a_n-α|≧ε
でs.t.の後ろ側は不等式を三角不等式でばらしてもa_n≧Mという感じになるような気がします。それに全称と存在の部分もうまくあわない。

そもそも発散することが収束することの否定命題になっているという思いこみがおかしいのでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

それは「+∞ に発散する」の定義ですね. 数列には「収束する」「+∞ に発散する」の他にも「-∞ に発散する」とか「振動する」などもありますよ.
あと, その「収束する」の定義はより正確にいうと「α に収束する」ですよね. 「発散する」に対応させるなら「なんらかの値に収束する」じゃないといけないので,
∃α∈R ∀ε∈R ∃N_0∈N s.t. N_0≦n → |a_n-α|<ε
(これも本当は
∃α∈R ∀ε∈R ∃N_0∈N ∀n≧N_0 → |a_n-α|<ε
か)
という形からスタートしないとダメでは?

お礼

ありがとうございます！
考えてみると結構いろいろとわかりました！