高校入試・空間図形の問題【２】

質問

次の問題がよくわかりません。どなたか詳しく教えてください。

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【１】下の図のように、１辺の長さが４cmの正四面体ABCDがあり、辺BC、CDの中点をそれぞれM、Nとする。また、点Mから線分ANに垂線を引き、その交点をHとする。このとき次の問いに答えなさい。

（４）MHの長さを求めなさい。

（５）三角錐HBCDの体積は、正四面体ABCDの体積の何倍か求めなさい。

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よろしくお願いします。

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

(1)AB=4cm,BM=2cmよりAM=AN=√(4^2-2^2=√12cm
△AMNにおいて
HN=xcmとするとMN=2cmなので
MH^2=AM^2-(AN-x)^2=(√12)^2-(√12-x)^2=2√12x-x^2
MH^2=MN^2-HN^2=2^2-x^2=4-x^2
2√12x-x^2=4-x^2
2√12x=4
x=2/√12
=2/(2√3)
=1/√3=√3/3cm
MH^2=4-(√3/3)^2=11/3
MH=√11/√3=√33/3cm

(2)点AからBCDに垂線をおろしGとすると
BG:GN=2:1
BN=2√3cmなので
BG=2√3×(2/3)=4√3/3cm
AG^2=AB^2-BG^2
=4^2-(4√3/3)^2
=16-48/9
=96/9
AG=√96/3=4√3/3--->四面体ABCDの高さ

HからMNに垂線をおろしIとしIN=xcmとすると
HI^2=MH^2-MI^2
(√33/3)^2-(2-x)^2
=11/3-4+4x-x^2
=-1/3+4x-x^2

HI^2=HN^2-x^2
=(√3/3)^2-x^2
=1/3-x^2

-1/3+4x-x^2=1/3-x^2
4x=2/3
x=1/6cm
HI^2=1/3-(1/6)^2
=1/3-1/36
=11/36
HI=√11/√36
=√11/6cm---->三角錐HBCDの高さ

底面積は等しいので体積の違いは高さの違いのみ

√11/6÷4√3/3=√11/8√3=√33/24倍

数値は違っているかもしれません・・

お礼

答えでは、（４）が√33/3 　（５）が1/6倍でした。
参考書の解答が詳しくないので（４）の答えを参考にさせてもらいます＾＾

回答No.2

tomokoich

(5)すみません
体積比はAN:HNの長さの比なので
AN=2√3cm,HN=√3/3cm
より
√3/3÷2√3=1/6倍でした

お礼

ありがとうございます。参考にさせてもらいます。