≪大至急≫中３数学の問題です！

質問

すべての辺の長さが６cmの正四角錐O-ABCDがあり、頂点Oから底面へ垂線OHをひき、線分OHを直径とする球面をSとする。

(1) 正四角錐の１つの辺OAと球面Sとの交点のうち、Oと異なる点をPとする時、線分OPの長さを求めよ。

(2) 正四角錐の側面で、球面Sの内側の部分の面積の総和を求めよ。

この問題が全くできません。。解説と答えをお願いします！！

回答No.1

shuu_01

AB の中点を E、△OEH と 球 S との交点のうち、O と異なる点を Q、
OQ の中点を R とします

（１） △AEH を考えると AE ＝ EH ＝ 3cm ですので、AH ＝ 3√2cm となります
　　　△OAH を考えると OA ＝ 6cm、AH ＝ 3√2 cm ですので、OH ＝ 3√2 です
　　　とすると △OAH は∠AOH ＝ ∠OAH ＝ 45°の直角二等辺三角形
　　　なのですね
　　　球を OAH を含む平面で切った図形を考えると、△OPH は OH を直径とする
　　　円に内接する三角形なので、∠OPH は直角です
　　　とすると、HP は底辺の角度 45°の 直角二等辺三角形頂点から底辺に
　　　下ろした垂線ですので、OP は OA の 1/2 となり OP ＝ （1/2）・6 ＝ 3cm です

（２）△OAE を考えると OA ＝ 6cm、AE ＝ 3cm ですので、OE ＝ 3√3 cm です
　　　球を OEH を含む平面で切った図形を考えると、△OQH は OH を直径とする
　　　円に内接する三角形なので、∠OQH は直角です
　　　△OEH と △OHQ は相似ですので
　　　OQ：OH ＝OH：OE
　　　OH ＝ 3√2、OE ＝ 3√3 を代入し、OQ ＝ 2√3
　　　球はどの平面で切っても、切断面は円です
　　　△OAB を考えると、球は中心が R、直径 2√3cm の円となります
　　　∠AOB ＝ 60度、中心角は円周角の２倍ですので、120°
　　　この扇形の面積は π（√3）^2・（120/360） ＝πcm^2 となります
　　　求める面積はこの扇型に△OPR の面積が２つ加わってできています
　　　この三角形は底辺の長さ OP ＝ 3cm、OR ＝ PR ＝ √3、
　　　底辺の角度 60° / 2 ＝ 30 の二等辺三角形なので高さは （1/2）√3 cm
　　　面積は （3/4）√3cm^2、それが２つあるので （3/2）√3cm^2
　　　側面 OAB と球面S の内側に含まれる面積は π＋ （3/2）√3cm^2
　　　側面は４つあるので、総和は 4π＋6√3cm^2

【答え】
（１）　3cm
（２）　4π＋6√3cm^2