空間ベクトルの問題なのですが

質問

正四面体ABCDの辺AB、CDの中点をそれぞれM,Nとし、線分MNの中点をG、∠AGBをΘとする。このとき、ｃｏｓΘあたいを求めよ

どうかお願いします

回答No.1

rabbit-kinako · ベストアンサー

添付した図をあわせて参照してください。

AB=2aとおくと、AM=BM=aであり、線分NMは線分ABの垂直二等分線となっているので、AB⊥NMである。
与えられた図形は正四面体であることから、三角形ACDにおいてAC=CD=AD=2a、CN=ND=aである。
このとき三角形ACNにおいて三平方の定理より、AN=√{（2a）^2-(a)^2}=a√3
また、三角形ANMにおいて三平方の定理より、NM=√{(a√3)^2-(a)^2}=a√2
Gは線分MNの中点であるから、GM=(a/2)√2
さらに、三角形AGMにおいて、三平方の定理より、GA=√{(AM)^2+(GM)^2}であるから、上で求めたものを代入して、GA=(a/2)√6=GB (∵三角形GABは二等辺三角形)
ゆえに、三角形GABにおいて、余弦定理より
cosθ={(GA)^2+(GB)^2-(AB)^2}/2(GA)(GB)
これにAB=2aと上で求めた、GA=GB=(a/2)√6を代入し計算すると
cosθ=-1/3 　・・・(答)

お礼

すごいです

丁寧にありがとうございます

回答No.2

info22_

簡単のためにAB=2と置いても正四面体は相似なので∠AGB=θは同じ。
ベクトルABは「/AB」と書くことにすると、
/GA=/GM+/MA=/GM-(1/2)(/AB)
/GB=/GM+/MB=/GM-(1/2)(/AB)
内積：(/GA)・(/GB)=GM^2-(1/4)AB^2 …(1)
(∵(/GM)⊥(/AB)より(/GM)・(/AB)=0

三平方の定理より、
AN=BN=√(2^2-1^2)=√3
MN=√{AN^2-AM^2}=√(3-1)=√2
GA=GB=√{GM^2+(BM)^2}=√{(MN/2)^2+(AB/2)^2}=√{(1/2)+1}=√(3/2)…(2)

GM=(1/2)MN=1/√2,AB=2を(1)に代入
内積：(/GA)・(/GB)=1/2-(1/4)*2^2=-1/2
　　　=GA*GBcosθ=(3/2)cosθ　（∵(2)より）
　∴cosθ=-1/3

お礼

丁寧にありがとうございます